Calculateur de décomposition en fractions partielles (fonctions rationnelles)

Calculateur de décomposition en fractions partielles (fonctions rationnelles) | Outil en ligne gratuit | Elysia Tools

Guide d'utilisation de l'outil

Découvrez quand utiliser cet outil, ce qu'il prend en charge et comment les utilisateurs l'appliquent.

Points clés

Catégorie: Math & Numbers
Types d’entrée: text, number
Type de sortie: text
Exemples associés: 4
API disponible: Oui

Aperçu

Ce calculateur décompose les fonctions rationnelles N(x)/D(x) en éléments simples (fractions partielles). Il prend en charge la division polynomiale préalable pour les fractions impropres, factorise le dénominateur jusqu'au degré 6 (racines réelles, multiples ou paires de complexes conjugués) et valide le résultat par vérification numérique des résidus.

Quand l’utiliser

Calculer des intégrales de fonctions rationnelles en les transformant en sommes d'intégrales élémentaires.
Déterminer la transformée inverse de Laplace d'une fonction de transfert en automatique ou en traitement du signal.
Vérifier manuellement les étapes de division euclidienne polynomiale et de factorisation de polynômes d'ordre supérieur.

Fonctionnement

1Saisissez les coefficients du numérateur et du dénominateur séparés par des virgules, obligatoirement ordonnés du terme constant vers la plus haute puissance.
2Le solveur applique une division euclidienne si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur afin d'isoler le quotient polynomial.
3L'algorithme de Durand–Kerner extrait les racines du dénominateur pour monter le système linéaire exact et calculer les coefficients des termes simples ou quadratiques.
4L'outil génère l'expression décomposée et effectue une vérification résiduelle sur des points de contrôle numériques.

Cas d’usage

Décomposition d'expressions rationnelles pour le calcul intégral en mathématiques post-bac.
Calcul de réponses impulsionnelles et indicielles à partir de fractions rationnelles en transformée de Laplace.
Factorisation et simplification de fractions à pôles multiples pour l'analyse de stabilité des systèmes linéaires.

Exemples

1. Décomposition d'une fraction propre à pôles réels simples

Étudiant en licence de mathématiques

Contexte

L'étudiant doit calculer une primitive de (3x + 5)/(x² + 3x + 2).

Problème

Décomposer l'expression sous la forme A/(x + 1) + B/(x + 2) pour intégrer chaque terme.

Utilisation

Saisir '5,3' pour le numérateur N(x) et '2,3,1' pour le dénominateur D(x).

numCoeffs = '5,3', denCoeffs = '2,3,1', decimalPlaces = 4

Résultat

Obtention de 2/(x + 1) + 1/(x + 2) avec factorisation (x + 1)(x + 2) et résidu validé.

2. Fraction impropre avec pôle complexe conjugué

Élève-ingénieur en automatique

Contexte

Analyse de la réponse fréquentielle d'un circuit modélisé par (x³ + 2x)/(x² + 1).

Problème

Séparer la partie polynomiale et isoler la résonance quadratique.

Utilisation

Entrer '0,2,0,1' pour le numérateur N(x) et '1,0,1' pour le dénominateur D(x).

FAQ

Dans quel ordre faut-il renseigner les coefficients ?

Les coefficients doivent toujours être saisis en commençant par le terme constant (puissance 0), par exemple '5,3' pour 3x + 5 ou '2,3,1' pour x² + 3x + 2.

Quelles sont les limites de degré prises en charge ?

Le numérateur accepte un polynôme de degré inférieur ou égal à 8, et le dénominateur un degré compris entre 1 et 6.

Comment le calculateur gère-t-il les fractions impropres ?

Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, une division polynomiale préalable extrait le quotient Q(x) avant de décomposer le reste R(x)/D(x).

Comment sont représentées les racines complexes conjuguées ?

Les racines complexes sont regroupées sous forme de composantes quadratiques irréductibles réelles du type (Bx + C)/((x − α)² + β²).

À quoi correspond la vérification résiduelle affichée ?

Elle évalue numériquement l'écart entre la fraction rationnelle de départ et la décomposition obtenue sur des points tests afin de garantir l'absence d'erreur d'arrondi ou de calcul.

numCoeffs = '0,2,0,1', denCoeffs = '1,0,1', decimalPlaces = 4

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1. Décomposition d'une fraction propre à pôles réels simples

2. Fraction impropre avec pôle complexe conjugué

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