M/M/1-Warteschlangenrechner

M/M/1-Warteschlangenrechner | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: number
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der M/M/1-Warteschlangenrechner analysiert einstufige Warteschlangensysteme mit einem einzelnen Bediener im stationären Zustand. Basierend auf Poisson-Ankünften (λ) und exponentiell verteilten Bedienzeiten (μ) liefert das Tool präzise Kennzahlen wie Systemauslastung, mittlere Warteschlangenlängen, Verweilzeiten und Zustandswahrscheinlichkeiten unter Verwendung von Littles Gesetz.

Wann verwenden

Dimensionierung und Kapazitätsplanung von Einzelschalter- oder Einzelservierersystemen.
Analyse von Engpässen und Wartezeiten in IT-Servern, Helpdesks oder logistischen Übergabestationen.
Validierung von Übungsaufgaben und Modellen im Bereich Operations Research und Warteschlangentheorie.

So funktioniert es

1Geben Sie die durchschnittliche Ankunftsrate λ (Poisson-Prozess) sowie die Bedienungsrate μ (Exponentialverteilung) pro Zeiteinheit ein.
2Wählen Sie die gewünschte Anzahl an Nachkommastellen für die Rundung der Ergebnisse aus.
3Das System prüft die Stabilitätsbedingung λ < μ und berechnet bei Erfüllung Kennzahlen wie Auslastung ρ, P0, L, Lq, W, Wq sowie Zustandswahrscheinlichkeiten P(n).
4Alle Ergebnisse werden automatisch über Littles Gesetz (L = λW und Lq = λWq) plausibilisiert.

Anwendungsfälle

Berechnung der durchschnittlichen Wartezeit von Kunden an einem einzelnen Beratungsschalter.
Abschätzung von Latenzzeiten und Paketanzahl in einem Netzwerk-Puffer mit Einzelleitung.
Bewertung der Auslastung von Werkstattstationen mit Einzelarbeitsplatz bei stochastischem Auftragseingang.

Beispiele

1. Kundenservice-Schalter im Bürgerbüro

Prozessoptimierer

Hintergrund

Ein Sachbearbeiter bearbeitet Anträge im Schnitt in 10 Minuten (μ = 6/h), während im Durchschnitt alle 15 Minuten ein neuer Bürger ankommt (λ = 4/h).

Aufgabe

Ermittlung der durchschnittlichen Wartezeit und Schlangenlänge der Bürger.

Verwendung

Geben Sie arrivalRate: 4 und serviceRate: 6 mit decimalPlaces: 4 ein.

arrivalRate = 4, serviceRate = 6, decimalPlaces = 4

Ergebnis

Auslastung ρ = 0.6667, durchschnittlich 1.3333 wartende Personen (Lq) und 20 Minuten mittlere Wartezeit (Wq = 0.3333 h).

2. IT-Support-Ticketsystem mit Einzelagent

IT-Operations-Manager

Hintergrund

Ein IT-Helpdesk erhält im Mittel 3 Tickets pro Stunde, während der First-Level-Agent 4 Tickets pro Stunde abschließen kann.

Aufgabe

Überprüfung, wie stark das System ausgelastet ist und wie lange Tickets im Schnitt bis zur Erledigung verweilen.

Verwendung

Tragen Sie arrivalRate: 3 und serviceRate: 4 ein.

FAQ

Was passiert, wenn die Ankunftsrate λ größer oder gleich der Bedienungsrate μ ist?

Das System ist in diesem Fall instabil (ρ ≥ 1), da die Warteschlange theoretisch unendlich anwächst; solche Eingaben werden zurückgewiesen.

Was bedeuten die Symbole L, Lq, W und Wq?

L ist die mittlere Anzahl der Kunden im Gesamtsystem, Lq die mittlere Anzahl in der Warteschlange, W die mittlere Verweilzeit im Gesamtsystem und Wq die mittlere reine Wartezeit.

Was besagt Littles Gesetz in diesem Rechner?

Es beschreibt die fundamentalen Beziehungen L = λ · W und Lq = λ · Wq, mit denen die berechneten Werte konsistent gegengeprüft werden.

Welche Bedienungsdisziplin wird für das M/M/1-Modell angenommen?

Das Modell setzt die Standardreihenfolge First-Come, First-Served (FCFS) bei unbegrenzter Systemkapazität voraus.

Was sagt die Leerlaufwahrscheinlichkeit P0 aus?

P0 entspricht 1 − ρ und gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich keine Einheiten im System befinden und die Bedienstation frei ist.

arrivalRate = 3, serviceRate = 4, decimalPlaces = 4

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