Wilson-Theorem-Primzahltest

Wilson-Theorem-Primzahltest | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: text, select
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der Wilson-Theorem-Primzahltest prüft die Primzahleigenschaft einer Zahl n anhand des mathematischen Satzes von Wilson, wonach (n−1)! ≡ −1 (mod n) genau dann gilt, wenn n prim ist. Das Werkzeug berechnet den modularen Rest schrittweise für n ≤ 10⁷, gleicht das Ergebnis deterministisch mit dem Miller–Rabin-Test ab und zeigt bei Bedarf die modularen Zwischenprodukte an.

Wann verwenden

Wenn Sie den Satz von Wilson an konkreten Zahlenbeispielen rechnerisch nachvollziehen möchten.
Wenn Sie das Faktoriengesetz (n−1)! ≡ 0 (mod n) für zusammengesetzte Zahlen n > 4 veranschaulichen wollen.
Wenn Sie die Primzahleigenschaft einer Zahl n ≤ 10⁷ inklusive Zwischenschritten und Gegenprüfung analysieren müssen.

So funktioniert es

1Geben Sie eine Ganzzahl n im Bereich von 2 bis 10⁷ ein.
2Wählen Sie den Detailgrad: 'Urteil und Gegenprobe' für das Endergebnis oder 'Zusätzlich Zwischenprodukte anzeigen' für die schrittweise Folge bis n ≤ 200.
3Das Tool berechnet (n−1)! mod n iterativ, vergleicht den Rest mit −1 mod n und führt eine Gegenprobe mit einem deterministischen Miller–Rabin-Test durch.

Anwendungsfälle

Zahlentheoretische Lehre und Demonstration modularer Arithmetik an Universitäten und Schulen.
Überprüfung von Übungsaufgaben zur Fakultätsberechnung modulo n.
Analyse des Verhaltens invarianter Restklassen und Zwischenprodukte k! mod n.

Beispiele

1. Primzahlprüfung für n = 13 mit Schrittanzeige

Mathematik-Dozent

Hintergrund

Im Seminar für elementare Zahlentheorie soll der Satz von Wilson an einer kleinen Primzahl demonstriert werden.

Aufgabe

Die Studierenden sollen die einzelnen Reste der Fakultätsberechnung bis zum Endergebnis nachvollziehen.

Verwendung

Geben Sie n = 13 ein und wählen Sie als Detailgrad 'Zusätzlich Zwischenprodukte anzeigen'.

n: 13, detail: trace

Ergebnis

Das Tool zeigt die Restfolge k! mod 13, bestätigt 12! mod 13 = 12 ≡ −1 (mod 13) und verifiziert '13 is PRIME' mit übereinstimmendem Miller–Rabin-Test.

2. Prüfung der zusammengesetzten Zahl n = 9

Lehramtsstudent

Hintergrund

Zur Vorbereitung einer Unterrichtseinheit wird das Verhalten von Nicht-Primzahlen unter dem Wilson-Kriterium untersucht.

Aufgabe

Es soll gezeigt werden, dass der Fakultätsrest bei n = 9 zu 0 kollabiert.

Verwendung

Geben Sie n = 9 ein und wählen Sie 'Urteil und Gegenprobe'.

FAQ

Was besagt der Satz von Wilson?

Eine natürliche Zahl n > 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn die Fakultät (n−1)! geteilt durch n den Rest n − 1 (also −1 mod n) ergibt.

Welcher Rest ergibt sich bei zusammengesetzten Zahlen?

Für jede zusammengesetzte Zahl n > 4 ergibt (n−1)! mod n den Wert 0; die einzige Ausnahme unter den zusammengesetzten Zahlen ist n = 4 mit einem Rest von 2.

Bis zu welcher Zahlengröße funktioniert die Berechnung?

Die Primzahlprüfung unterstützt Zahlen n bis 10⁷. Die Ausgabe der Zwischenprodukt-Sequenz (Trace) ist auf n ≤ 200 begrenzt.

Warum wird zusätzlich der Miller–Rabin-Test herangezogen?

Der deterministische Miller–Rabin-Test dient als unabhängige Gegenprobe zur Verifikation des Ergebnisses.

Warum wird der Wilson-Test selten für sehr große Primzahlen genutzt?

Die Berechnung der Fakultät erfordert O(n) Multiplikationen, weshalb sie für kryptografisch große Zahlen rechnerisch zu aufwendig ist.

n: 9, detail: verdict

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