Berechnet die Kennzahlen des Multiserver-Warteschlangensystems M/M/c (Poisson-Ankünfte mit Rate λ, c identische exponentielle Server mit Rate μ, eine gemeinsame FCFS-Warteschlange): angebotene Last a = λ/μ, Auslastung pro Server ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, Erlang-C-Wartewahrscheinlichkeit Pw, mittlere Anzahlen Lq und L, mittlere Zeiten W und Wq, kreuzgeprüft mit Littles Gesetz und der Beziehung Pw→Lq. Setzt λ < cμ voraus (sonst Ablehnung als instabil); mit c = 1 reduzieren sich die Formeln auf M/M/1. Klassiker: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.
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Wichtige Fakten
Kategorie
Math & Numbers
Eingabetypen
number
Ausgabetyp
text
Sample-Abdeckung
4
API bereit
Ja
Überblick
Der M/M/c-Warteschlangenrechner ermittelt die stationären Leistungskennzahlen für mehrkanalige Wartesysteme mit Poisson-Ankünften, exponentiellen Bedienzeiten und gemeinsamer FCFS-Warteschlange. Auf Basis der Erlang-C-Formel und Littles Gesetz berechnet das Tool Größen wie die Serverauslastung, die Leerlaufwahrscheinlichkeit, die Wartewahrscheinlichkeit sowie durchschnittliche Schlangenlängen und Wartezeiten.
Wann verwenden
Wenn die optimale Anzahl paralleler Schalter, Agenten oder Server für ein bekanntes Anruf- oder Kundenaufkommen ermittelt werden soll.
Wenn Engpässe und Wartezeiten in bestehenden Mehrkanalsystemen analytisch bewertet und optimiert werden müssen.
Wenn im Rahmen von Operations Research oder Service-Design Leistungsdaten wie Auslastung und Warteschlangenlänge schnell berechnet werden sollen.
So funktioniert es
1Geben Sie die durchschnittliche Ankunftsrate λ pro Zeiteinheit sowie die Bedienrate μ je einzelnem Server ein.
2Legen Sie die Anzahl der parallelen Server c (zwischen 1 und 20) und die gewünschte Anzahl an Dezimalstellen fest.
3Das Tool prüft die Stabilitätsbedingung λ < c·μ und ermittelt die Lastkenngrößen a und ρ.
4Über die Erlang-C-Formel werden P0, Pw, die mittleren Anzahlen (Lq, L) und Verweilzeiten (Wq, W) exakt ausgegeben.
Anwendungsfälle
Personal- und Schichtplanung in Callcentern zur Einhaltung von Zielwartezeiten.
Dimensionierung von Kassen- und Schaltersystemen in Banken, Behörden oder Supermärkten.
Kapazitätsplanung für Webserver-Cluster und Microservices mit parallelen Worker-Threads.
Beispiele
1. Schalterdimensionierung einer Bankfiliale
Filialleiter
Hintergrund
In einer Bankfiliale treffen im Schnitt 6 Kunden pro Stunde ein. Jeder Schaltermitarbeiter kann durchschnittlich 3 Kunden pro Stunde bedienen.
Aufgabe
Es soll ermittelt werden, ob 3 Schalter ausreichen, um moderate Wartezeiten sicherzustellen.
Verwendung
Tragen Sie arrivalRate = 6, serviceRate = 3 und servers = 3 ein.
Die Auslastung je Schalter beträgt 66,67 %, die Wartewahrscheinlichkeit Pw liegt bei 44,44 % und im Schnitt warten 0,8889 Kunden in der Schlange.
2. Wartezeitanalyse in einer Arztpraxis
Praxismanager
Hintergrund
In einer Gemeinschaftspraxis mit 2 Behandlungszimmern treffen durchschnittlich 8 Patienten pro Stunde ein, bei einer Behandlungsrate von 5 Patienten pro Stunde je Arzt.
Aufgabe
Es soll geprüft werden, wie stark die Wartezone bei einer Auslastung von 80 % belastet wird.
Verwendung
Geben Sie arrivalRate = 8, serviceRate = 5 und servers = 2 ein.
FAQ
Was passiert, wenn die Ankunftsrate λ größer oder gleich c·μ ist?
Das System gilt als instabil, da mehr Anfragen eintreffen als bedient werden können. In diesem Fall wächst die Warteschlange theoretisch unendlich und es können keine stationären Kennzahlen berechnet werden.
Was unterscheidet das M/M/c-Modell vom M/M/1-Modell?
Beim M/M/c-Modell teilen sich Kunden eine gemeinsame Schlange, werden aber von c parallelen Servern bedient. Setzt man c = 1, entsprechen die Ergebnisse exakt dem M/M/1-Wartesystem.
Was sagt der Erlang-C-Wert (Pw) aus?
Pw gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein neu ankommender Kunde nicht sofort bedient werden kann und in der Warteschlange warten muss.
Welche Zeiteinheiten müssen für λ und μ verwendet werden?
Beide Raten müssen sich auf dieselbe Zeiteinheit beziehen, beispielsweise Kunden pro Stunde oder Anfragen pro Sekunde.
Wie hängen Lq und Wq miteinander zusammen?
Gemäß Littles Gesetz gilt der feste Zusammenhang Lq = λ · Wq zwischen der mittleren Schlangenlänge und der mittleren Wartezeit.
Die Wartewahrscheinlichkeit liegt bei 71,11 % und im Schnitt befinden sich 2,8444 Patienten in der Warteschlange bei einer durchschnittlichen Wartezeit von 0,3556 Stunden.