M/M/c-Warteschlangenrechner (mehrere Server)

M/M/c-Warteschlangenrechner (mehrere Server) | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: number
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der M/M/c-Warteschlangenrechner ermittelt die stationären Leistungskennzahlen für mehrkanalige Wartesysteme mit Poisson-Ankünften, exponentiellen Bedienzeiten und gemeinsamer FCFS-Warteschlange. Auf Basis der Erlang-C-Formel und Littles Gesetz berechnet das Tool Größen wie die Serverauslastung, die Leerlaufwahrscheinlichkeit, die Wartewahrscheinlichkeit sowie durchschnittliche Schlangenlängen und Wartezeiten.

Wann verwenden

Wenn die optimale Anzahl paralleler Schalter, Agenten oder Server für ein bekanntes Anruf- oder Kundenaufkommen ermittelt werden soll.
Wenn Engpässe und Wartezeiten in bestehenden Mehrkanalsystemen analytisch bewertet und optimiert werden müssen.
Wenn im Rahmen von Operations Research oder Service-Design Leistungsdaten wie Auslastung und Warteschlangenlänge schnell berechnet werden sollen.

So funktioniert es

1Geben Sie die durchschnittliche Ankunftsrate λ pro Zeiteinheit sowie die Bedienrate μ je einzelnem Server ein.
2Legen Sie die Anzahl der parallelen Server c (zwischen 1 und 20) und die gewünschte Anzahl an Dezimalstellen fest.
3Das Tool prüft die Stabilitätsbedingung λ < c·μ und ermittelt die Lastkenngrößen a und ρ.
4Über die Erlang-C-Formel werden P0, Pw, die mittleren Anzahlen (Lq, L) und Verweilzeiten (Wq, W) exakt ausgegeben.

Anwendungsfälle

Personal- und Schichtplanung in Callcentern zur Einhaltung von Zielwartezeiten.
Dimensionierung von Kassen- und Schaltersystemen in Banken, Behörden oder Supermärkten.
Kapazitätsplanung für Webserver-Cluster und Microservices mit parallelen Worker-Threads.

Beispiele

1. Schalterdimensionierung einer Bankfiliale

Filialleiter

Hintergrund

In einer Bankfiliale treffen im Schnitt 6 Kunden pro Stunde ein. Jeder Schaltermitarbeiter kann durchschnittlich 3 Kunden pro Stunde bedienen.

Aufgabe

Es soll ermittelt werden, ob 3 Schalter ausreichen, um moderate Wartezeiten sicherzustellen.

Verwendung

Tragen Sie arrivalRate = 6, serviceRate = 3 und servers = 3 ein.

arrivalRate = 6, serviceRate = 3, servers = 3, decimalPlaces = 4

Ergebnis

Die Auslastung je Schalter beträgt 66,67 %, die Wartewahrscheinlichkeit Pw liegt bei 44,44 % und im Schnitt warten 0,8889 Kunden in der Schlange.

2. Wartezeitanalyse in einer Arztpraxis

Praxismanager

Hintergrund

In einer Gemeinschaftspraxis mit 2 Behandlungszimmern treffen durchschnittlich 8 Patienten pro Stunde ein, bei einer Behandlungsrate von 5 Patienten pro Stunde je Arzt.

Aufgabe

Es soll geprüft werden, wie stark die Wartezone bei einer Auslastung von 80 % belastet wird.

Verwendung

Geben Sie arrivalRate = 8, serviceRate = 5 und servers = 2 ein.

FAQ

Was passiert, wenn die Ankunftsrate λ größer oder gleich c·μ ist?

Das System gilt als instabil, da mehr Anfragen eintreffen als bedient werden können. In diesem Fall wächst die Warteschlange theoretisch unendlich und es können keine stationären Kennzahlen berechnet werden.

Was unterscheidet das M/M/c-Modell vom M/M/1-Modell?

Beim M/M/c-Modell teilen sich Kunden eine gemeinsame Schlange, werden aber von c parallelen Servern bedient. Setzt man c = 1, entsprechen die Ergebnisse exakt dem M/M/1-Wartesystem.

Was sagt der Erlang-C-Wert (Pw) aus?

Pw gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein neu ankommender Kunde nicht sofort bedient werden kann und in der Warteschlange warten muss.

Welche Zeiteinheiten müssen für λ und μ verwendet werden?

Beide Raten müssen sich auf dieselbe Zeiteinheit beziehen, beispielsweise Kunden pro Stunde oder Anfragen pro Sekunde.

Wie hängen Lq und Wq miteinander zusammen?

Gemäß Littles Gesetz gilt der feste Zusammenhang Lq = λ · Wq zwischen der mittleren Schlangenlänge und der mittleren Wartezeit.

arrivalRate = 8, serviceRate = 5, servers = 2, decimalPlaces = 4

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