交互式二维克拉尼金属板振动模式可视化——沙粒聚集在节线上，展现 Helmholtz 方程本征模的几何之美
1787 年，恩斯特·克拉尼发现用弓弦拉动覆盖细沙的金属板时，沙粒会形成美丽的几何图案。沙粒迁移到不振动的「节线」上——即板的振动本征模为零的位置。这些图案是二维波动方程和 Helmholtz 方程 ∇²u + k²u = 0 的直接可视化。
对于边长为 Lx、Ly 的矩形板，本征模为：u_nm(x,y) = sin(nπx/Lx)·sin(mπy/Ly)（固定边）或 cos(nπx/Lx)·cos(mπy/Ly)（自由边）。本征频率为 f_nm = (πc/2)·√((n/Lx)² + (m/Ly)²)，其中 c 取决于材料属性。节线出现在 u_nm = 0 处。对于圆形板，解涉及贝塞尔函数 J_m(k·r)·cos(mθ)。
振动板上的沙粒受到两种力的作用：(1) 垂直振荡在波腹（高振动区域）将颗粒弹起；(2) 重力使它们回落。落在波腹上的颗粒会迅速被弹走，而落在节线（零振动）上的颗粒保持静止。随着时间推移，所有沙粒都会聚集在节线上，形成经典的克拉尼图形。这是力学自组织的优美范例。
克拉尼图案有广泛应用：(1) 小提琴和吉他制作者利用它们优化板的共振以获得更佳音色；(2) 结构工程师分析振动模式以避免桥梁和建筑的共振失效；(3) MEMS 设计者利用板振动制造传感器和执行器；(4) 声学家研究音乐厅的房间模式；(5) 声学可视化学（Cymatics）将克拉尼图案扩展到液体和颗粒介质，用于艺术和科学可视化；(6) 量子力学类比：板的本征模与二维势阱中的量子波函数惊人相似。
主画面显示克拉尼板上的沙粒（亮点）聚集在节线（暗线）上。振动模式形状面板以热力图显示振幅 |u(x,y)|：亮色 = 高振动，暗色 = 节线。截面面板显示板中央切片，便于计算半波数量。尝试改变模式编号 (n,m) 观察图案复杂度如何增加——更高的模式产生更多节线和更精细的图案。
1) 从模式 (1,2) 开始——简单图案，逐步增大 m 观察平行节线出现。2) 尝试 (2,3) 获得经典星形图案。3) 切换到 (5,5) 观察复杂网格。4) 将几何改为圆形，观察贝塞尔函数图案。5) 切换到三角形，体验独特的对称图案。6) 在固定边和自由边之间切换——注意节线如何从边缘移向中心。7) 增加粒子数量获得更密集、更真实的图案。8) 使用预设快速访问著名克拉尼图形。