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计算股票交易盈亏，包括买入/卖出佣金和费用

用埃拉托色尼筛法生成不超过 n（≤ 10⁷）的全部素数，可选只取区间 [m, n] 内的素数。输出展示筛法机制：基素数（p² ≤ n）、划去操作次数与实际合数个数，素数列表最多显示 200 个但计数始终精确。经典例：n = 100 时以基素数 2、3、5、7 划掉 74 个合数，剩 25 个素数；π(1000) = 168。

判别数项级数 Σ aₙ 的收敛性（aₙ 为 n 的表达式）：按序运行项判别法（aₙ → 0?）、比值判别法 L = |aₙ₊₁/aₙ|、根值判别法 ρ = |aₙ|^(1/n)、p-级数比较估计 p = −ln|a(N)|/ln N，以及积分判别法（Simpson 数值积分 + 逐十进位增长比较）；交错级数自动识别并用 Leibniz 判别法分类条件收敛，收敛时还给出和的估计（部分和 + 几何/p 律尾部）。经典例：Σ1/n² 收敛（p≈2，和≈1.6449）；Σ1/n 发散（调和）；Σ0.5ⁿ 收敛；Σcos(πn)/n 条件收敛（和≈−ln2）。

对两个集合做运算：并 A ∪ B、交 A ∩ B、差 A − B、对称差 A △ B、笛卡尔积 A × B。元素为逗号分隔的字符串（区分大小写，自动去重并保持首次出现顺序，每个集合最多 50 个元素）；输出结果集、基数 |A|、|B| 与 |结果|，笛卡尔积最多展示 200 个有序对。经典例：{1,2,3,4} △ {3,4,5,6} = {1,2,5,6}；{a,b} × {x,y,z} 有 6 个有序对。

用经典四阶 Runge-Kutta（RK4）法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：每步计算 k1–k4 四个斜率并加权更新 y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4)，全局误差 O(h⁴)——步长减半误差约缩小 16 倍。输出逐步数值表、前几步的 k1–k4 明细与最终估计；可选填精确解 y(x) 显示误差列。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 2.718282，与 e 几乎一致。

求解 a·y'' + b·y' + c·y = f(x)：解特征方程 ar² + br + c = 0，按判别式给出齐次解（两相异实根 / 二重根 / 共轭复根），用待定系数法求特解（含共振：k 为特征根时试探解乘 x^m），支持常数、多项式、A·e^(kx) 与 A·sin(kx)+B·cos(kx) 右端项；给定 y(x₀) 与 y'(x₀) 时由 2×2 线性方程组定出 C1、C2。经典例：y''−3y'+2y=0，y(0)=1，y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x。

静强度安全系数 n = σ_极限 / σ_工作。可选极限类型：屈服 σ_y（延性设计）或抗拉 σ_uts。内置碳钢/合金钢/铝/铜/奥氏体不锈钢/钛的典型强度，亦可自定义 σ_极限。判定：n<1 失效、1≤n<1.5 边缘、n≥1.5 安全。

对空调过程做显热/潜热分离：总冷量 Qt=ṁ_da·(h1−h2)，显热 Qs=ṁ_da·cp_ma·(T1−T2)（cp_ma≈1.006+1.86·W），潜热 Ql=Qt−Qs，显热比 SHR=Qs/Qt。进出状态由干球温度 T 与含湿量 W 描述，焓 h=1.006·T+W·(2501+1.86·T)。支持三种模式：进出状态全分离、由 Qt/Qs 求 SHR 与 Ql、由 Qt/SHR 求 Qs 与 Ql。

按 IEC 60909 远端短路法估算三相对称短路电流：I"_k = c·U_n/(√3·|Z|)，i_p = κ·√2·I"_k。阻抗由变压器与线路串联累加；峰值系数 κ = 1.02 + 0.98·e^(−3R/X)。

计算截面抗弯模量 W = I/y_max 与配套几何性质。支持矩形、实心圆、空心圆管、工字钢四种截面，自动计算惯性矩 I、最外缘距离 c、面积 A、回转半径 r。单位 mm 体系。

计算梁截面中性轴处的最大剪应力 τ_max = V·Q/(I·b)。支持矩形（1.5V/A）、实心圆（4V/3A）、空心圆管与工字钢（精确 V·Q_web/(I·tw)）。同时给出平均剪应力 V/A 便于对比。

计算转轴的临界转速（共振转速）。ω_n = √(k/m)，n_cr = (60/2π)·√(k/m) rpm。同时输出固有频率 f_n（Hz）。