威尔逊定理素性判定器

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关键事实

分类: Math & Numbers
输入类型: text, select
输出类型: text
案例覆盖: 4
API 可用: 是

概览

威尔逊定理素性判定器基于数论经典定理 (n−1)! ≡ −1 (mod n) 判定整数 n 是否为素数。工具支持计算 2 ≤ n ≤ 10⁷ 范围内的阶乘模余数，自动与确定性 Miller–Rabin 测试交叉验证，并在 n 为合数时检验合数阶乘律，同时支持针对 n ≤ 200 输出逐步乘积序列。

适用场景

需要通过经典威尔逊定理严格验证一个正整数是否为素数或合数时。
教学或研究数论模运算时，需要观察 k! mod n 逐步乘积演变轨迹时。
验证合数阶乘律在合数（如 n > 4 时 (n−1)! ≡ 0 (mod n)）下的表现与特例时。

使用方式

1输入待检测的正整数 n（2 ≤ n ≤ 10⁷）并选择输出详细度（仅判定结果或包含逐步轨迹）。
2系统通过逐项累乘并取模的方式计算阶乘余数 (n−1)! mod n，避免大数溢出。
3比对计算余数是否等于 n − 1（即 −1 mod n），同时运行确定性 Miller–Rabin 算法进行交叉比对与合数定理检验。
4若选择逐步追踪且 n ≤ 200，系统将列出从 k = 1 到 n−1 的每个中间模乘积 k! mod n。

常见用途

数论课程教学中演示威尔逊同余式与模阶乘的计算过程与乘积周期。
验证中小型整数的素性并分析合数因式分解在阶乘模运算中的消解特性。
算法研究人员测试与比对阶乘模乘法与确定性 Miller–Rabin 的一致性。

示例

1. 验证素数 13 并观察逐步模乘轨迹

数论教师

背景

正在为本科生讲解威尔逊定理，需要展示 12! mod 13 的中间模乘计算过程。

问题

需要向学生直观呈现中间乘积如何最终收敛到 12（即 −1 mod 13）。

如何使用

在数值输入框输入 13，输出详细度选择“同时显示逐步乘积（n ≤ 200）”。

n = 13, detail = trace

结果

显示 12! mod 13 = 12，判定为素数，Miller–Rabin 验证一致，并输出 1 到 12 的逐步模乘积序列。

2. 检验合数 9 的合数阶乘律

计算机系学生

背景

在做离散数学作业，需要验证合数 9 在威尔逊测试下的阶乘余数。

问题

确认 8! mod 9 的实际余数以及合数阶乘律是否生效。

如何使用

在数值输入框输入 9，输出详细度保持默认的“判定与交叉验证”。

n = 9, detail = verdict

结果

计算得出 8! mod 9 = 0 ≠ 8，判定 9 为合数，同时确认满足合数阶乘律 (n−1)! ≡ 0 (mod n)。

常见问题

威尔逊定理的内容是什么？

对于大于 1 的自然数 n，当且仅当 (n−1)! ≡ −1 (mod n)（即余数为 n − 1）时，n 是素数。

为什么合数 n 的 (n−1)! mod n 通常为 0？

当合数 n > 4 时，其素因子都会出现在 1 到 n−1 的乘积项中，因此 (n−1)! 必然包含 n 的完整因子，使模余数坍缩为 0。

合数阶乘律中 n = 4 为何是特例？

对于 n = 4，(4−1)! = 3! = 6，6 mod 4 = 2 ≠ 0，因此 n = 4 是大于 1 的合数中唯一余数不为 0 的特例。

逐步乘积轨迹（trace）支持多大范围？

逐步乘积轨迹输出仅支持 n ≤ 200 的整数，以保证页面展示清晰和计算响应速度。

Miller–Rabin 交叉验证的作用是什么？

用于使用独立的高效确定性素性检测算法校验威尔逊定理的计算结果，确保判定结论准确一致。

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