Verificador de primalidade pelo teorema de Wilson

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Guia de uso da ferramenta

Veja quando usar esta ferramenta, o que ela suporta e como os usuários a aplicam.

Fatos principais

Categoria: Math & Numbers
Tipos de entrada: text, select
Tipo de saída: text
Cobertura de exemplos: 4
API pronta: Sim

Visão geral

O Verificador de Primalidade pelo Teorema de Wilson determina se um número inteiro n é primo avaliando a congruência (n−1)! ≡ −1 (mod n). A ferramenta calcula o resíduo fatorial modular passo a passo para números de até 10⁷, cruza o resultado com o teste determinístico de Miller–Rabin e verifica a lei fatorial para números compostos, oferecendo ainda o rastreamento dos produtos parciais para n ≤ 200.

Quando usar

Quando você precisa verificar didaticamente a primalidade de um número usando a congruência clássica de Wilson.
Ao estudar ou demonstrar a lei fatorial para números compostos onde (n−1)! ≡ 0 (mod n) para n > 4.
Para inspecionar a sequência detalhada dos restos fatoriais parciais k! mod n em valores de n até 200.

Como funciona

1Você insere um número inteiro n no intervalo de 2 até 10⁷ e seleciona o nível de detalhe desejado.
2O algoritmo acumula o produto fatorial (n−1)! módulo n termo a termo para evitar estouro de memória mantendo precisão exata.
3O resultado é comparado com n − 1 (equivalente a −1 mod n) e validado com uma verificação cruzada pelo método determinístico de Miller–Rabin.
4Se a opção de rastreamento estiver ativa (para n ≤ 200), a ferramenta exibe a lista completa de produtos intermediários k! mod n de k = 1 até n−1.

Casos de uso

Aulas de teoria dos números e criptografia para demonstrar congruências modulares e propriedades dos fatoriais.
Validação de exercícios acadêmicos que exigem o cálculo do resíduo de Wilson e verificação cruzada.
Análise do comportamento cíclico e inversos multiplicativos na sequência de produtos parciais módulo n.

Exemplos

1. Verificação de primalidade com produtos parciais para n = 13

Estudante de Matemática

Contexto

Um estudante precisa demonstrar o Teorema de Wilson para n = 13 em um trabalho de Álgebra e entender como os inversos modulares se cancelam no fatorial.

Problema

Calcular 12! mod 13 e apresentar todos os passos intermediários da acumulação modular.

Como usar

Insira 13 no campo 'Número n' e defina o 'Nível de detalhe' como 'Mostrar também os produtos parciais (n ≤ 200)'.

Resultado

A ferramenta calcula 12! mod 13 = 12 (≡ −1 mod 13), confirma que 13 é primo com validação por Miller–Rabin e lista a sequência de restos parciais de 1 até 12.

2. Demonstração do colapso fatorial para o composto n = 9

Professor de Teoria dos Números

Contexto

Um professor quer ilustrar por que números compostos não primos falham no teste de Wilson e colapsam para zero módulo n.

Problema

Verificar o comportamento de 8! mod 9 de acordo com a lei fatorial composta.

Como usar

Insira 9 no campo 'Número n' e selecione 'Veredito e verificação cruzada'.

Perguntas frequentes

O que afirma o Teorema de Wilson?

O teorema afirma que um número inteiro n > 1 é primo se, e somente se, (n−1)! ≡ −1 (mod n).

Por que números compostos maiores que 4 resultam em 0?

Pela lei fatorial composta, se n > 4 é composto, seus fatores próprios aparecem no produto (n−1)!, fazendo com que (n−1)! seja múltiplo exato de n, logo (n−1)! mod n = 0.

Qual é a única exceção da lei fatorial composta?

A única exceção é n = 4, onde (4−1)! = 6, e 6 mod 4 = 2 em vez de 0.

Qual é o limite para visualizar o rastro de produtos parciais?

A exibição da sequência de produtos parciais k! mod n está disponível para números n até 200.

Por que o teste de Wilson é pouco usado para números gigantes?

O cálculo de (n−1)! exige O(n) multiplicações modulares, tornando-o computacionalmente inviável para números extremamente grandes em comparação a testes como Miller–Rabin.

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Fatos principais

Visão geral

Quando usar

Como funciona

Casos de uso

Exemplos

1. Verificação de primalidade com produtos parciais para n = 13

2. Demonstração do colapso fatorial para o composto n = 9

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