Test de primalité du théorème de Wilson

Test de primalité du théorème de Wilson | Outil en ligne gratuit | Elysia Tools

Guide d'utilisation de l'outil

Découvrez quand utiliser cet outil, ce qu'il prend en charge et comment les utilisateurs l'appliquent.

Points clés

Catégorie: Math & Numbers
Types d’entrée: text, select
Type de sortie: text
Exemples associés: 4
API disponible: Oui

Aperçu

Ce testeur applique le théorème de Wilson pour déterminer la primalité d'un entier n compris entre 2 et 10⁷. Il calcule le résidu exact (n−1)! modulo n, le confronte à la condition (n−1)! ≡ −1 (mod n), vérifie la loi factorielle pour les nombres composés et valide le résultat par un test déterministe de Miller–Rabin.

Quand l’utiliser

Pour illustrer concrètement l'application du théorème de Wilson et de l'arithmétique modulaire en cours de mathématiques ou d'informatique.
Pour analyser pas à pas l'évolution des produits factoriels partiels k! mod n sur de petits entiers (n ≤ 200).
Pour vérifier le comportement du résidu factoriel d'un entier composé face à la règle (n−1)! ≡ 0 (mod n) pour n > 4.

Fonctionnement

1Saisissez un entier n compris entre 2 et 10 000 000.
2Sélectionnez le niveau de détail souhaité : verdict simple avec contre-vérification ou affichage de la trace des produits partiels (pour n ≤ 200).
3L'outil calcule le produit modulaire accumulé (n−1)! mod n, compare le résidu à n−1, applique le test de Miller–Rabin déterministe et affiche le verdict de primalité.

Cas d’usage

Démonstration pédagogique en arithmétique modulaire montrant pourquoi les inverses modulo n s'annulent deux à deux pour laisser −1.
Étude des propriétés factorielles des entiers composés, notamment l'apparition précoce de zéros dans la chaîne de multiplication modulaire.
Contrôle rapide de primalité avec rapport complet comparant Wilson et Miller–Rabin pour des valeurs jusqu'à 10⁷.

Exemples

1. Vérification de primalité avec produits partiels pour n = 13

Enseignant en mathématiques

Contexte

L'enseignant souhaite montrer à sa classe l'évolution des factorielles partielles modulo 13 et l'appariement des inverses modulaires.

Problème

Valider que 13 est premier tout en visualisant chaque étape du produit modulaire de 1! à 12!.

Utilisation

Saisir 13 dans le champ n et sélectionner l'option trace des produits partiels.

n = 13, detail = trace

Résultat

L'outil affiche la suite 1, 2, 6, 11, 3, 5, 9, 7, 11, 6, 1, 12, confirme que 12! ≡ 12 ≡ −1 (mod 13) et conclut que 13 est premier, en accord avec Miller–Rabin.

2. Détection d'un nombre composé et annulation factorielle pour n = 9

Étudiant en licence d'informatique

Contexte

L'étudiant étudie la loi factorielle sur les nombres composés n > 4.

Problème

Vérifier l'échec de la condition de Wilson et constater l'effondrement du produit factoriel modulo 9.

Utilisation

Saisir 9 dans le champ n avec le mode de détail standard.

FAQ

Que stipule exactement le théorème de Wilson ?

Un entier n ≥ 2 est premier si et seulement si (n−1)! ≡ −1 (mod n), ce qui équivaut à (n−1)! mod n = n − 1.

Pourquoi le théorème de Wilson est-il rarement utilisé pour les très grands nombres ?

Le calcul de (n−1)! nécessite un nombre d'opérations proportionnel à n, ce qui devient impraticable pour les très grands entiers comparé à des tests polynomiaux comme Miller–Rabin.

Que vaut (n−1)! mod n lorsque n est un nombre composé ?

Pour tout entier composé n > 4, (n−1)! ≡ 0 (mod n). L'unique exception est n = 4, où 3! ≡ 2 (mod 4).

Pourquoi l'affichage des produits partiels est-il limité à n ≤ 200 ?

Cette restriction évite de générer des listes textuelles trop longues tout en permettant d'observer en détail la trajectoire modulaire sur les petits entiers.

À quoi sert la contre-vérification par Miller–Rabin intégrée ?

n = 9, detail = verdict

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Exemples

1. Vérification de primalité avec produits partiels pour n = 13

2. Détection d'un nombre composé et annulation factorielle pour n = 9

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