Затухающий Гармонический Осциллятор - Интерактивная Симуляция

Интерактивная симуляция системы пружина-масса-демпфер с визуализацией движения, кривой смещения и фазовой траектории в реальном времени

Смещение (x): 0.00 m
Скорость (v): 0.00 m/s
Ускорение (a): 0.00 m/s²
Время: 0.00 s
Режим Затухания: Underdamped

Смещение vs Время

Фазовое Пространство (x vs v)

Энергия vs Время

Параметры

Предустановленные Режимы Затухания

Физические Уравнения

Уравнение Движения: mx'' + cx' + kx = 0
Собственная Частота: ω₀ = √(k/m)
Коэффициент Затухания: ζ = c/(2√(km))
Затухающая Частота: ωd = ω₀√(1-ζ²)
Текущие Параметры: ω₀ = 4.47 rad/s, ζ = 0.11

Что такое Затухающий Гармонический Осциллятор?

Затухающий гармонический осциллятор состоит из массы, прикрепленной к пружине и демпферу. Пружина обеспечивает восстанавливающую силу, пропорциональную смещению (закон Гука: F = -kx), а демпфер обеспечивает силу сопротивления, пропорциональную скорости (F = -cv). Эта система моделирует многие реальные явления, такие как подвески автомобилей, вибрации зданий и электрические цепи.

Режимы Затухания

Недодавленный (ζ < 1): Система колеблется с постепенно уменьшающейся амплитудой. Масса несколько раз пересекает положение равновесия перед тем, как успокоиться. Это наиболее распространенное поведение в повседневных механических системах.

Критически затухающий (ζ = 1): Система возвращается в равновесие как можно быстрее без колебаний. Это идеально для таких приложений, как амортизаторы автомобилей и дверные доводчики, где требуется быстрое успокоение без перелета.

Передавленный (ζ > 1): Система медленно возвращается в равновесие без колебаний. Сила затухания настолько сильна, что полностью предотвращает колебания. Это происходит в сильно затухающих системах, таких как некоторые измерительные приборы.

Фазовая Траектория

График фазового пространства показывает положение (x) vs скорость (v). Для затухающего осциллятора траектория образует внутреннюю спираль, поскольку энергия рассеивается. Каждый цикл представляет один цикл колебания, причем размер уменьшается со временем. Спираль в конечном итоге сходится к началу координат (x=0, v=0), так как система теряет энергию.

Рассеяние Энергии

В затухающем осцилляторе механическая энергия непрерывно превращается в тепло через силу затухания. Полная энергия E = ½mv² + ½kx² уменьшается со временем, причем скорость потери энергии пропорциональна коэффициенту затухания. Огибающая смещения следует экспоненциальному затуханию: x(t) ∝ e^(-ζω₀t).