Gedämpfter Harmonischer Oszillator - Interaktive Simulation

Interaktive Simulation des Feder-Masse-Dämpfer-Systems mit Echtzeit-Visualisierung von Bewegung, Verschiebungskurve und Phasenbahn

Verschiebung (x): 0.00 m
Geschwindigkeit (v): 0.00 m/s
Beschleunigung (a): 0.00 m/s²
Zeit: 0.00 s
Dämpfungsmodus: Underdamped

Verschiebung vs Zeit

Phasenraum (x vs v)

Energie vs Zeit

Parameter

Vordefinierte Dämpfungsmodi

Physikalische Gleichungen

Bewegungsgleichung: mx'' + cx' + kx = 0
Eigenfrequenz: ω₀ = √(k/m)
Dämpfungsverhältnis: ζ = c/(2√(km))
Gedämpfte Frequenz: ωd = ω₀√(1-ζ²)
Aktuelle Parameter: ω₀ = 4.47 rad/s, ζ = 0.11

Was ist ein gedämpfter harmonischer Oszillator?

Ein gedämpfter harmonischer Oszillator besteht aus einer Masse, die an einer Feder und einem Dämpfer befestigt ist. Die Feder stellt eine rückstellende Kraft bereit, die proportional zur Verschiebung ist (Hookesches Gesetz: F = -kx), während der Dämpfer eine der Geschwindigkeit proportionale Widerstandskraft bereitstellt (F = -cv). Dieses System modelliert viele reale Phänomene wie Autoaufhängungen, Gebäudeschwingungen und elektrische Schaltungen.

Dämpfungsmodi

Unterdrämpft (ζ < 1): Das System schwingt mit allmählich abnehmender Amplitude. Die Masse kreuzt mehrmals die Gleichgewichtsposition, bevor sie sich beruhigt. Dies ist das häufigste Verhalten im täglichen Gebrauch von mechanischen Systemen.

Kritisch gedämpft (ζ = 1): Das System kehrt so schnell wie möglich ohne Schwingungen zur Gleichgewichtslage zurück. Dies ist ideal für Anwendungen wie Stoßdämpfer und Türschließer, wo Sie schnelles Beruhigen ohne Überschwingen wünschen.

Überdrämpft (ζ > 1): Das System kehrt langsam ohne Schwingungen zur Gleichgewichtslage zurück. Die Dämpfungskraft ist so stark, dass sie Schwingungen vollständig verhindert. Dies tritt in stark gedämpften Systemen wie einigen Messinstrumenten auf.

Phasenraum-Trajektorie

Der Phasenraum-Plot zeigt Position (x) vs Geschwindigkeit (v). Für einen gedämpften Oszillator bildet die Trajektorie eine nach innen spirale, da Energie dissipiert wird. Jede Schleife repräsentiert einen Schwingungszyklus, wobei die Größe mit der Zeit abnimmt. Die Spirale konvergiert schließlich zum Ursprung (x=0, v=0), da das System Energie verliert.

Energiedissipation

In einem gedämpften Oszillator wird mechanische Energie kontinuierlich durch die Dämpfungskraft in Wärme umgewandelt. Die Gesamtenergie E = ½mv² + ½kx² nimmt mit der Zeit ab, wobei die Rate des Energieverlusts proportional zum Dämpfungskoeffizienten ist. Die Hülle der Verschiebung folgt einem exponentiellen Zerfall: x(t) ∝ e^(-ζω₀t).