Итеративный фрактал метода Ньютона - Визуализация бассейнов притяжения на комплексной плоскости
Метод Ньютона (также называемый методом Ньютона-Рафсона) был разработан Исааком Ньютоном в 1669 году и позже усовершенствован Джозефом Рафсоном в 1690 году. Это мощная итеративная техника для нахождения последовательно лучших приближений к корням (или нулям) вещественнозначной функции. Расширение на комплексные числа и изучение его фрактального поведения пришли гораздо позже, а визуализация фракталов Ньютона стала возможна с современной вычислительной техникой в конце XX века.
Для комплексного полинома f(z) метод Ньютона итерирует по формуле: z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n). Начиная с каждой точки z_0 на комплексной плоскости, итерация обычно сходится к одному из корней f(z). 'Бассейн притяжения' для каждого корня состоит из всех начальных точек, которые сходятся к этому корню. Границы между этими бассейнами образуют бесконечно сложные фрактальные узоры - это фрактал Ньютона.
Фрактальные границы возникают из-за чувствительной зависимости от начальных условий. Около границы между двумя бассейнами крошечные изменения в начальной точке могут привести к сходимости к разным корням. Эта чувствительность создает бесконечно сложные граничные узоры на всех масштабах - отличительная черта фрактальной геометрии. Граница имеет фрактальную размерность больше 1 (размерность гладкой кривой), что означает, что она более 'заполняет пространство', чем простая линия.