Fractal iterativo del método de Newton - Visualización de cuencas de atracción en el plano complejo
El método de Newton (también llamado método Newton-Raphson) fue desarrollado por Isaac Newton en 1669 y luego refinado por Joseph Raphson en 1690. Es una poderosa técnica iterativa para encontrar aproximaciones cada vez mejores a las raíces (o ceros) de una función de valor real. La extensión a números complejos y el estudio de su comportamiento fractal llegó mucho más tarde, con la visualización de fractales de Newton siendo posible con la computación moderna a finales del siglo XX.
Para un polinomio complejo f(z), el método de Newton itera usando la fórmula: z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n). Comenzando desde cada punto z_0 en el plano complejo, la iteración típicamente converge a una de las raíces de f(z). La 'cuenca de atracción' para cada raíz consiste en todos los puntos iniciales que convergen a esa raíz. Los límites entre estas cuencas forman patrones fractales infinitamente intrincados - este es el fractal de Newton.
Los límites fractales ocurren debido a la dependencia sensible de las condiciones iniciales. Cerca del límite entre dos cuencas, cambios diminutos en el punto inicial pueden llevar a la convergencia a diferentes raíces. Esta sensibilidad crea patrones de límite infinitamente complejos a todas las escalas - una característica distintiva de la geometría fractal. El límite tiene una dimensión fractal mayor que 1 (la dimensión de una curva suave), lo que significa que es más 'llenador de espacio' que una simple línea.