牛顿法迭代分形 - 复平面上的吸引域可视化
牛顿法（也称牛顿-拉弗森法）由艾萨克·牛顿于1669年发展，后由约瑟夫·拉弗森于1690年改进。它是一种强大的迭代技术，用于逐步逼近函数的根（或零点）。扩展到复数并研究其分形行为则来得更晚，随着20世纪末期现代计算机的发展，牛顿分形的可视化成为可能。
对于复多项式 f(z)，牛顿法使用以下公式迭代：z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n)。从复平面上的每个点 z_0 开始，迭代通常会收敛到 f(z) 的某个根。每个根的"吸引域"由所有收敛到该根的起始点组成。这些吸引域之间的边界形成无限复杂的分形图案——这就是牛顿分形。
分形边界的出现是由于对初始条件的敏感依赖性。在两个吸引域的边界附近，起始点的微小变化可能导致收敛到不同的根。这种敏感性在所有尺度上创造出无限复杂的边界图案——这是分形几何的标志性特征。边界的分形维数大于1（光滑曲线的维数），意味着它比简单的线条更"填充空间"。