Newton-Methoden iteratives Fraktal - Becken der Attraktion Visualisierung auf der komplexen Ebene
Die Newton-Methode (auch Newton-Raphson-Methode genannt) wurde von Isaac Newton 1669 entwickelt und später von Joseph Raphson 1690 verfeinert. Sie ist eine leistungsstarke iterative Technik, um sukzessive bessere Approximationen an die Wurzeln (oder Nullstellen) einer reellwertigen Funktion zu finden. Die Erweiterung auf komplexe Zahlen und das Studium ihres fraktalen Verhaltens kamen viel später, wobei die Visualisierung von Newton-Fraktalen mit moderner Computertechnik Ende des 20. Jahrhunderts möglich wurde.
Für ein komplexes Polynom f(z) iteriert die Newton-Methode unter Verwendung der Formel: z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n). Ausgehend von jedem Punkt z_0 in der komplexen Ebene konvergiert die Iteration typischerweise gegen eine der Wurzeln von f(z). Das 'Attraktionsbecken' für jede Wurzel besteht aus allen Startpunkten, die zu dieser Wurzel konvergieren. Die Grenzen zwischen diesen Becken bilden unendlich komplizierte fraktale Muster - das ist das Newton-Fraktal.
Die fraktalen Grenzen entstehen aufgrund der empfindlichen Abhängigkeit von Anfangsbedingungen. Nahe der Grenze zwischen zwei Becken können winzige Änderungen im Startpunkt zur Konvergenz zu verschiedenen Wurzeln führen. Diese Empfindlichkeit erzeugt unendlich komplexe Grenzmuster auf allen Skalen - ein Kennzeichen der fraktalen Geometrie. Die Grenze hat eine fraktale Dimension größer als 1 (die Dimension einer glatten Kurve), was bedeutet, dass sie mehr 'raumfüllend' ist als eine einfache Linie.