Fractal iterativo do método de Newton - Visualização de bacias de atração no plano complexo
O método de Newton (também chamado método Newton-Raphson) foi desenvolvido por Isaac Newton em 1669 e posteriormente refinado por Joseph Raphson em 1690. É uma poderosa técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivamente melhores às raízes (ou zeros) de uma função de valor real. A extensão para números complexos e o estudo de seu comportamento fractal vieram muito mais tarde, com a visualização de fractais de Newton tornando-se possível com a computação moderna no final do século XX.
Para um polinômio complexo f(z), o método de Newton itera usando a fórmula: z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n). Começando de cada ponto z_0 no plano complexo, a iteração tipicamente converge para uma das raízes de f(z). A 'bacia de atração' para cada raiz consiste em todos os pontos iniciais que convergem para essa raiz. As fronteiras entre essas bacias formam padrões fractais infinitamente intrincados - este é o fractal de Newton.
As fronteiras fractais ocorrem devido à dependência sensível das condições iniciais. Perto da fronteira entre duas bacias, minúsculas mudanças no ponto inicial podem levar à convergência para raízes diferentes. Essa sensibilidade cria padrões de fronteira infinitamente complexos em todas as escalas - uma marca da geometria fractal. A fronteira tem uma dimensão fractal maior que 1 (a dimensão de uma curva suave), o que significa que é mais 'preenchedora de espaço' do que uma simples linha.