Интерактивная визуализация логистического уравнения роста: исследуйте S-кривую, точку перегиба, ёмкость среды и динамику популяций
dN/dt = rN(1 − N/K), предложено Verhulst (1838). Решение: N(t) = K/(1 + ((K−N₀)/N₀)·e^(−rt)). Классическая S-кривая.
При N = K/2 скорость роста максимальна: rK/4. Время перегиба: t* = (1/r)·ln(K/N₀ − 1).
Экспонента растёт без ограничений, логистика стабилизируется при K. Большинство реальных процессов ограничены ресурсами.
Два равновесия: N*=0 (неустойчивое) и N*=K (глобально устойчивое).
r контролирует скорость; K определяет конечное состояние; N₀ влияет на начальную позицию.
Гомпертц, Ричардс, модель с запаздыванием, эффект Алли, дискретное логистическое отображение.
Основа популяционной экологии. Гаузе (1934) проверил на инфузориях.
Кумулятивные случаи следуют S-кривой. COVID-19 показал классический логистический рост.
Диффузия инноваций (Rogers, 1962): S-кривая. Точка перегиба — 'переход через пропасть'.