Elysia Tools

Explore ferramentas, exemplos, explicações visuais e guias temáticos em um espaço claro.

Categorias populares

Temas

Idioma
ZHESPTRUFRDEEN

Elysia Tools

Navegação

Math & Numbers

Função de contagem de primos π(n)

· Última atualização：2026-08-27

Calcula a função de contagem de primos π(n) — quantos primos são ≤ n. Uma peneira de Eratóstenes em uma passada (limite 10⁷) conta com exatidão, junto com a aproximação n/ln n, a densidade de primos, o intervalo médio e o maior primo ≤ n; opcionalmente lista até 20 primos próximos de n. Referências clássicas: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

Execução

Executar esta ferramenta

Preencha o formulário, execute a ferramenta e veja o resultado no mesmo lugar.

Exemplos

Exemplos compatíveis com esta ferramenta

Relacionado

Continue com ferramentas e temas relacionados

Escrito pela equipe Elysia Tools

Guia de uso da ferramenta

Veja quando usar esta ferramenta, o que ela suporta e como os usuários a aplicam.

Fatos principais

Categoria
Math & Numbers
Tipos de entrada
text, select
Tipo de saída
text
Cobertura de exemplos
4
API pronta
Sim

Visão geral

Calcule a função de contagem de primos π(n) para determinar a quantidade exata de números primos menores ou iguais a um determinado limite até 10⁷. A ferramenta utiliza uma peneira de Eratóstenes de passada única para computar a contagem exata, comparar com a estimativa do Teorema dos Números Primos (n/ln n), exibir a densidade e o intervalo médio, além de identificar o maior primo do intervalo e listar opcionalmente os últimos 20 primos.

Quando usar

  • Quando precisar determinar o número exato de primos em um intervalo de 1 a n (até 10.000.000).
  • Ao comparar a contagem real de primos com a aproximação assintótica n/ln n do Teorema dos Números Primos.
  • Para inspecionar o maior primo abaixo de um limiar ou visualizar a lista dos até 20 primos mais próximos de n.

Como funciona

  1. 1Informe o limite superior n desejado no campo de texto, respeitando o intervalo entre 1 e 10.000.000.
  2. 2Selecione o nível de detalhe desejado: apenas estatísticas e contagem ou a listagem adicional dos até 20 primos mais próximos de n.
  3. 3O algoritmo processa a Peneira de Eratóstenes para calcular π(n), a densidade π(n)/n, o intervalo médio n/π(n) e a estimativa assintótica correspondente.

Casos de uso

  • Estudo de Teoria dos Números para demonstrar o comportamento assintótico e o desvio da aproximação n/ln n.
  • Verificação de limites e validação de algoritmos numéricos que exigem contagens exatas como π(10⁶) = 78498.
  • Busca rápida pelo maior número primo imediatamente inferior a uma determinada ordem de grandeza (ex.: limites de arrays ou hashes).

Exemplos

1. Análise de densidade em 1 milhão

Estudante de Matemática

Contexto

Precisa comprovar o erro percentual da fórmula assintótica n/ln n em relação ao valor exato de π(10⁶).

Problema

Calcular π(1.000.000) e verificar o desvio da aproximação analítica.

Como usar

Defina o campo 'Número n' como 1000000 e selecione o nível de detalhe 'Contagem e estatísticas'.

n = 1000000, detail = count

Resultado

Exibe π(1000000) = 78498, maior primo 999983, estimativa n/ln n ≈ 72382.4 (-7.8%) e densidade de 0.078498.

2. Identificação de primos próximos até 100

Professor do Ensino Fundamental

Contexto

Deseja mostrar aos alunos quais primos compõem a contagem clássica π(100) = 25.

Problema

Exibir a contagem exata e os maiores primos menores que 100.

Como usar

Insira 100 no campo 'Número n' e escolha o nível de detalhe 'Listar também primos próximos (até 20)'.

Perguntas frequentes

Qual é o valor máximo suportado para n?

O limite máximo suportado para a contagem exata é n = 10.000.000 (10⁷).

O que representa a estimativa n/ln n?

É a aproximação assintótica dada pelo Teorema dos Números Primos, indicando a quantidade esperada de primos até n.

Como a densidade de primos é calculada?

A densidade é a razão direta entre a contagem exata e o limite superior fornecido, dada pela fórmula π(n) / n.

Quantos primos vizinhos a ferramenta pode listar?

No modo de detalhe estendido, a ferramenta lista até os 20 maiores primos menores ou iguais a n.

Qual é o menor valor aceito para o cálculo?

O valor mínimo de entrada para n é 1.

Início
Ferramentas3201
Exemplos593
Visualizações465
Visualizadores de arquivos103
Temas233
Etiquetas333
Imagens, áudio e vídeo657

Ferramentas de processamento, conversão e otimização de imagens, áudio e vídeo

Matemática, datas e finanças644

Calculadoras, ferramentas numéricas, lógica de datas, estatística e finanças

Design e cor297

Ferramentas de cor, layout, gráficos, estilo visual e apoio ao design

Texto e escrita209

Ferramentas de escrita, limpeza, formatação, extração e análise de texto

Desenvolvimento e Web193

Utilitários para desenvolvedores, rede, depuração web e automação

Conversão e codificação175

Ferramentas de conversão de formatos, arquivos, unidades, arquivos compactados e codificação

Triagem de fontes FLAC/WAV e entrega de evidências
Revisão e entrega de um componente de sorteio auto-hospedado
Revisão de lote de códigos Stripe e pré-verificação da importação
Revisão da seleção técnica de fotos e entrega de candidatas à edição
Estruturar uma captura de interface, revisar e entregar ao desenvolvimento

© 2026 Elysia Tools. Todos os direitos reservados.

DocumentaçãoPreçosSobreTermos de serviçoPolítica de privacidadeCookiesContato
Python

Exemplos de Processamento de Imagem Web Python

Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato

Java

Exemplos de Processamento de Imagem Android Java

Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato

Kotlin

Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin

Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato

Rust

Exemplos de Processamento de Imagem Web Rust

Exemplos de processamento de imagem Web Rust incluindo leitura/gravação, redimensionamento e conversão de formato

Math & Numbers

Calculadora da função de Carmichael λ(n)

Calcula a função de Carmichael λ(n) — o expoente do grupo multiplicativo (Z/nZ)*, ou seja, o menor k com a^k ≡ 1 (mod n) para todo a coprimo com n. Construída a partir da fatoração prima (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) para k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) em potências ímpares, depois mmc), junto com φ(n), a existência de raiz primitiva e o critério de Korselt para detectar números de Carmichael. Clássicos: λ(561) = 80 (561 é o menor número de Carmichael) e λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

Math & Numbers

Teorema chinês do resto (sistema de congruências)

Resolve o sistema x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 equações) pelo teorema chinês do resto generalizado com fusão aos pares: módulos coprimos → módulo combinado igual ao produto; não coprimos porém compatíveis → MMC; sistema incompatível → ausência de solução relatada claramente. Cada congruência é verificada contra a solução final. Clássico: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

Math & Numbers

Gerador de permutações / combinações / subconjuntos (com repetições)

Gera permutações, combinações e subconjuntos de um multiconjunto com deduplicação automática em ordem lexicográfica: as permutações usam next_permutation com contagem exata n!/Π(mᵢ!); as combinações dão as k-subseções distintas do multiconjunto, contadas como coeficiente de x^k em Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) se todos os elementos forem distintos); os subconjuntos enumeram cada subseção com contagem Π(mᵢ+1) (2ⁿ se todos distintos), incluindo o vazio. Até 12 elementos, exibição limitada a 200 entradas mas contagem sempre exata; o modo combinações exige 1 ≤ k ≤ n. Clássicos: permutações de [A, A, B] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de [A, A, B] → (2+1)(1+1) = 6.

Math & Numbers

Calculadora da função totiente de Euler φ(n)

Calcula a função totiente de Euler φ(n) — quantos inteiros em [1, n] são coprimos com n. Fatora n por divisão de tentativa e avalia exatamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), com opção de listar os primeiros 60 coprimos e o lembrete do teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clássicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); se n for primo, φ(n) = n − 1, p. ex. φ(97) = 96.

n = 100, detail = nearby

Resultado

Retorna π(100) = 25 primos, maior primo 97 e a lista dos 20 maiores primos entre 13 e 97.