Elysia Tools

Durchsuche Tools, Beispiele, visuelle Erklärungen und Themenguides an einem klaren Ort.

Beliebte Kategorien

Themen

Sprache
ZHESPTRUFRDEEN

Elysia Tools

Mobile Navigation

Math & Numbers

Primzahlfunktion π(n)

· Zuletzt aktualisiert：2026-08-27

Berechnet die Primzahlfunktion π(n) — wie viele Primzahlen ≤ n liegen. Ein ein Durchlauf Sieb des Eratosthenes (Grenze 10⁷) liefert die exakte Anzahl zusammen mit der Näherung n/ln n, der Primzahldichte, dem durchschnittlichen Abstand und der größten Primzahl ≤ n; optional bis zu 20 nahe Primzahlen. Klassische Richtwerte: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

Ausführung

Dieses Tool ausführen

Fülle das Formular aus, starte das Tool und prüfe das Ergebnis an einem Ort.

Beispiele

Beispiele zu diesem Tool

Verwandt

Mit verwandten Tools und Themen fortfahren

Verfasst vom Elysia Tools Team

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie
Math & Numbers
Eingabetypen
text, select
Ausgabetyp
text
Sample-Abdeckung
4
API bereit
Ja

Überblick

Der Rechner für die Primzahlfunktion π(n) ermittelt die genaue Anzahl aller Primzahlen bis zu einer oberen Grenze von n ≤ 10⁷ mittels Sieb des Eratosthenes. Neben dem exakten Zählergebnis liefert das Werkzeug die Schätzung nach dem Primzahlsatz (n/ln n), die prozentuale Abweichung, die Primzahldichte, den durchschnittlichen Abstand sowie die größte Primzahl kleiner oder gleich n.

Wann verwenden

  • Wenn Sie die exakte Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmten Schranke n (bis 10.000.000) ermitteln möchten.
  • Wenn Sie die Genauigkeit der asymptotischen Formel n/ln n mit der tatsächlichen Primzahlanzahl vergleichen wollen.
  • Wenn Sie die größte Primzahl unterhalb einer Grenze n sowie die letzten Primzahlen in diesem Bereich einsehen möchten.

So funktioniert es

  1. 1Geben Sie eine positive ganze Zahl n im Bereich von 1 bis 10.000.000 ein.
  2. 2Wählen Sie den gewünschten Detailgrad: reine Zählung mit statistischen Kennzahlen oder zusätzlich bis zu 20 der größten Primzahlen unterhalb von n.
  3. 3Starten Sie die Berechnung, bei der ein Sieb des Eratosthenes ausgeführt wird, um π(n), die größte Primzahl ≤ n, die Dichte und den Näherungswert n/ln n auszugeben.

Anwendungsfälle

  • Überprüfung von Übungsaufgaben und Beweisen in der elementaren Zahlentheorie.
  • Analyse der Primzahldichte und des Verhaltens von n/ln n bei wachsendem n.
  • Schnelle Ermittlung der größten Primzahl unterhalb runder Grenzwerte wie 100.000 oder 1.000.000.

Beispiele

1. Primzahlzählung bis zu einer Million

Mathematikstudent

Hintergrund

Für ein Zahlentheorie-Seminar soll die Fehlerquote des Primzahlsatzes n/ln n für den Wert 1.000.000 dokumentiert werden.

Aufgabe

Die exakte Anzahl der Primzahlen bis 1.000.000 sowie die Abweichung der Schätzung müssen ermittelt werden.

Verwendung

Geben Sie 1000000 in das Feld 'Zahl n' ein und wählen Sie als Detailgrad 'Anzahl und Statistik'.

n: 1000000, detail: count

Ergebnis

Exakt π(1000000) = 78498 Primzahlen, größte Primzahl 999983, Näherungswert 72382,4 (-7,8 % Abweichung) und Primzahldichte 0,078498.

2. Primzahlen bis 100 mit Auflistung

Gymnasiallehrkraft

Hintergrund

Zur Einführung von Primzahlen im Unterricht soll der Bereich bis 100 übersichtlich analysiert werden.

Aufgabe

Die Anzahl der Primzahlen bis 100 und die letzten Primzahlen in diesem Intervall sollen für das Tafelbild bereitgestellt werden.

Verwendung

Geben Sie 100 ein und wählen Sie 'Zusätzlich nahe Primzahlen auflisten (bis 20)'.

FAQ

Was ist die Primzahlfunktion π(n)?

Die Primzahlfunktion π(n) gibt an, wie viele Primzahlen kleiner oder gleich einer gegebenen reellen oder ganzen Zahl n sind.

Welche Obergrenze gilt für die Berechnung?

Das Werkzeug verarbeitet Eingaben bis maximal n = 10.000.000 (10⁷) über ein schnelles Siebverfahren.

Wie wird der Näherungswert für π(n) berechnet?

Die Schätzung basiert auf dem Primzahlsatz und verwendet die asymptotische Formel n / ln(n).

Was bedeutet der durchschnittliche Abstand n/π(n)?

Er gibt an, wie viele Ganzzahlen im Bereich bis n im statistischen Mittel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen liegen.

Welche Primzahlen werden im Modus „nearby“ angezeigt?

Es werden bis zu 20 der größten Primzahlen aufgelistet, die kleiner oder gleich der angegebenen Zahl n sind.

Start
Werkzeuge3201
Beispiele593
Visualisierungen465
Dateibetrachter103
Themen233
Schlagwörter333
Bilder, Audio & Video657

Werkzeuge für Bild-, Audio- und Videobearbeitung, Konvertierung und Optimierung

Mathe, Datum & Finanzen644

Rechner, Zahlenwerkzeuge, Datumslogik, Statistik und Finanztools

Design & Farbe297

Werkzeuge für Farben, Layouts, Grafiken, visuelle Gestaltung und Designhilfen

Text & Schreiben209

Werkzeuge für Schreiben, Bereinigung, Formatierung, Extraktion und Textanalyse

Entwicklung & Web193

Entwicklerwerkzeuge, Netzwerk-Utilities, Web-Debugging und Automatisierungshelfer

Konvertierung & Kodierung175

Werkzeuge für Format-, Datei-, Archiv-, Einheiten- und Kodierungskonvertierung

FLAC/WAV-Quellen prüfen und Nachweise übergeben
Selbst gehostetes Gewinnspiel-Widget prüfen und zur Einbettung übergeben
Stripe-Codepaket prüfen und lokalen Import vorbereiten
Technische Fotoauswahl prüfen und Kandidaten zur Bearbeitung übergeben
UI-Screenshot strukturieren, prüfen und an die Entwicklung übergeben

© 2026 Elysia Tools. Alle Rechte vorbehalten.

DokumentationTarifeÜber unsNutzungsbedingungenDatenschutzerklärungCookiesKontakt
Python

Web Python Bildverarbeitung Beispiele

Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung

Java

Android Java Bildverarbeitungsbeispiele

Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung

Kotlin

Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele

Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung

Rust

Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele

Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung

Math & Numbers

Carmichael-Funktion-λ(n)-Rechner

Berechnet die Carmichael-Funktion λ(n) — den Exponenten der multiplikativen Gruppe (Z/nZ)*, also das kleinste k mit a^k ≡ 1 (mod n) für jedes zu n teilerfremde a. Aufgebaut aus der Primfaktorzerlegung (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) für k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) bei ungeraden Potenzen, dann kgV), zusammen mit φ(n), der Existenz einer Primitivwurzel und dem Korselt-Kriterium zur Erkennung von Carmichael-Zahlen. Klassiker: λ(561) = 80 (561 ist die kleinste Carmichael-Zahl) und λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

Math & Numbers

Chinesischer Restsatz (Kongruenzsystem)

Löst das System x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 Kongruenzen) mit dem verallgemeinerten chinesischen Restsatz durch paarweise Verschmelzung: Bei paarweise teilerfremden Moduln ist der kombinierte Modul das Produkt, bei nicht teilerfremden, aber verträglichen das kgV; ein unverträgliches System wird klar als unlösbar gemeldet. Jede Kongruenz wird gegen die Endlösung verifiziert. Klassiker: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

Math & Numbers

Permutations-/Kombinations-/Teilmengen-Generator (mit Wiederholungen)

Erzeugt Permutationen, Kombinationen und Teilmengen einer Multimenge, automatisch dedupliziert und in lexikographischer Ordnung: Permutationen über next_permutation mit exakter Anzahl n!/Π(mᵢ!); Kombinationen als alle verschiedenen k-Teilmengen der Multimenge, gezählt als Koeffizient von x^k in Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) bei lauter verschiedenen Elementen); Teilmengen mit Anzahl Π(mᵢ+1) (2ⁿ bei lauter verschiedenen), inklusive leerer Menge. Bis zu 12 Elemente, Anzeige auf 200 Einträge begrenzt, die Anzahl ist stets exakt; im Kombinationsmodus gilt 1 ≤ k ≤ n. Klassiker: Permutationen von [A, A, B] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); Teilmengen von [A, A, B] → (2+1)(1+1) = 6.

Math & Numbers

Eulersche φ-Funktion-Rechner

Berechnet Eulers φ-Funktion — wie viele Zahlen in [1, n] teilerfremd zu n sind. Faktorisiert n per Probedivision und wertet exakt φ(n) = n · Π(1 − 1/p) aus (n ≤ 10¹²), optional mit den ersten 60 teilerfremden Zahlen und dem Euler-Theorem a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Klassiker: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); für Primzahlen gilt φ(n) = n − 1, z. B. φ(97) = 96.

n: 100, detail: nearby

Ergebnis

π(100) = 25 Primzahlen, größte Primzahl 97, durchschnittlicher Abstand 4,00 sowie die Liste der 20 größten Primzahlen von 13 bis 97.