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Función de conteo de primos π(n)

· Última actualización：2026-08-27

Calcula la función de conteo de primos π(n) — cuántos primos hay ≤ n. Un criba de Eratóstenes de una pasada (límite 10⁷) cuenta con exactitud, junto con la aproximación n/ln n, la densidad de primos, el intervalo medio y el mayor primo ≤ n; opcionalmente se listan hasta 20 primos cercanos a n. Referencias clásicas: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

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Guía de uso de la herramienta

Conoce cuándo usar esta herramienta, qué admite y cómo la aplican los usuarios.

Datos clave

Categoría
Math & Numbers
Tipos de entrada
text, select
Tipo de salida
text
Cobertura de ejemplos
4
API disponible
Sí

Resumen

Calcula el valor exacto de la función de conteo de primos π(n) para cualquier entero hasta 10⁷ mediante una criba de Eratóstenes. La herramienta proporciona el total de primos menores o iguales a n, el mayor primo en el rango, la estimación teórica n/ln n, la densidad de primos y el intervalo medio.

Cuándo usarlo

  • Cuando necesitas verificar el recuento exacto de números primos menores o iguales a un límite n.
  • Al comparar el conteo real de primos con la aproximación asintótica del Teorema de los Números Primos.
  • Para identificar el primo más grande antes de un límite dado o inspeccionar los primos más cercanos a n.

Cómo funciona

  1. 1Introduce un número entero n en el rango de 1 a 10⁷ (10 000 000).
  2. 2Selecciona el nivel de detalle entre solo estadísticas o incluir hasta los 20 primos más cercanos.
  3. 3El algoritmo ejecuta una criba de Eratóstenes para determinar con precisión matemática cuántos primos existen hasta n y extrae las métricas de distribución.

Casos de uso

  • Validación de ejercicios y demostraciones en cursos de teoría de números y matemáticas discretas.
  • Análisis empírico del error y convergencia de la aproximación n/ln n frente a la distribución real de primos.
  • Búsqueda rápida de números primos máximos dentro de intervalos acotados para criptografía básica o problemas algorítmicos.

Ejemplos

1. Verificación del benchmark del millón π(10⁶)

Estudiante de Matemáticas

Contexto

Analizando la distribución asintótica de números primos para un trabajo de teoría analítica de números.

Problema

Requiere comprobar el número exacto de primos hasta un millón y calcular el sesgo respecto a la aproximación n/ln n.

Cómo usarlo

Ingresa 1000000 en el campo 'Número n' y selecciona 'Recuento y estadísticas' en el nivel de detalle.

Resultado

Obtiene π(1000000) = 78498, mayor primo 999983, densidad 0.078498 y una estimación teórica con un error de −7.8%.

2. Inspección de primos en la primera centena

Docente de Álgebra

Contexto

Preparando una clase práctica sobre primos gemelos y cribas.

Problema

Necesita mostrar a los alumnos el recuento exacto hasta 100 y listar los últimos números primos del tramo.

Cómo usarlo

Ingresa 100 en 'Número n' y selecciona 'Listar también primos cercanos (hasta 20)'.

Resultado

Genera π(100) = 25, destaca el 97 como el mayor primo y lista la secuencia de los 20 mayores primos hasta 97.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es el límite máximo permitido para n?

El límite máximo soportado es n = 10⁷ (10 000 000).

¿Qué representa la función π(n)?

Representa la cantidad exacta de números primos menores o iguales a n.

¿Qué fórmula se utiliza para la estimación asintótica?

Utiliza la aproximación clásica del Teorema de los Números Primos: n / ln(n).

¿Cómo se calcula el intervalo medio entre primos?

Se obtiene dividiendo el límite entre la cantidad de primos encontrados: n / π(n).

¿Cuántos primos cercanos se pueden mostrar en el resultado?

La opción de detalle extendido lista hasta un máximo de 20 primos inmediatamente anteriores o iguales a n.

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Calculadora de la función de Carmichael λ(n)

Calcula la función de Carmichael λ(n) — el exponente del grupo multiplicativo (Z/nZ)*, es decir, el menor k con a^k ≡ 1 (mod n) para todo a coprimo con n. Se obtiene desde la factorización prima con λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) (k ≥ 3), λ(p^k)=φ(p^k) en potencias impares y lcm entre componentes, junto con φ(n), la existencia de raíz primitiva y el criterio de Korselt para detectar números de Carmichael. Clásicos: λ(561) = 80 (561 es el menor número de Carmichael) y λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

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Teorema chino del resto (sistema de congruencias)

Resuelve el sistema x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 ecuaciones) mediante el teorema chino del resto generalizado con fusión por pares: con módulos coprimos el módulo combinado es el producto; si no son coprimos pero el sistema es compatible, es el mínimo común múltiple; si es incompatible, se informa claramente de que no hay solución. Cada congruencia se verifica contra la solución final. Clásico: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

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Generador de permutaciones / combinaciones / subconjuntos (con repeticiones)

Genera permutaciones, combinaciones y subconjuntos de un multiconjunto, deduplicando y ordenando lexicográficamente: las permutaciones usan next_permutation con conteo exacto n!/Π(mᵢ!); las combinaciones generan las k-submultisecciones distintas, contadas como el coeficiente de x^k en Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si todos los elementos son distintos); los subconjuntos enumeran cada submultisección con conteo Π(mᵢ+1) (2ⁿ si todos distintos), incluido el vacío. Hasta 12 elementos, la muestra se limita a 200 entradas pero el conteo siempre es exacto; el modo combinaciones exige 1 ≤ k ≤ n. Clásicos: permutaciones de [A, A, B] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de [A, A, B] → (2+1)(1+1) = 6.

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Calculadora de la función φ de Euler

Calcula la función φ de Euler — cuántos enteros en [1, n] son coprimos con n. Factoriza n por división de prueba y evalúa exactamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), con opción de listar los primeros 60 coprimos y el recordatorio del teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clásicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); si n es primo, φ(n) = n − 1, p. ej. φ(97) = 96.