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Calcula o símbolo de Jacobi (a/n) (n ímpar até 10¹⁸; Legendre se n for primo): módulo um primo, a^((n−1)/2) ≡ 1 indica resíduo quadrático e Tonelli–Shanks (ou a fórmula direta se p ≡ 3 (mod 4)) fornece as raízes ±√a; o símbolo −1 certifica que a NÃO é resíduo. Com módulo composto o símbolo é só necessário: −1 prova não-resíduo e +1 é inconclusivo (resolvido por força bruta quando n ≤ 10⁵). Clássico: 10 é resíduo quadrático mod 13 com raízes ±6.

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Calcula as métricas de regime permanente da fila M/M/1: chegadas de Poisson (taxa λ), serviço exponencial (taxa μ), FCFS. Exige λ < μ; caso contrário o sistema é instável e a entrada é rejeitada. Reporta a utilização ρ, a probabilidade de sistema vazio P0, os números médios L (no sistema) e Lq (na fila), os tempos médios W e Wq, a probabilidade de esperar ρ e as probabilidades de estado P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), com verificação cruzada pela lei de Little L = λW, Lq = λWq. Clássico: λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

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Calcula as métricas de regime permanente da fila M/M/c (chegadas de Poisson com taxa λ, c servidores exponenciais idênticos com taxa μ, uma fila FCFS compartilhada): trafego oferecido a = λ/μ, utilização por servidor ρ, probabilidade de sistema vazio P0, probabilidade de espera de Erlang-C Pw, números médios Lq e L, tempos médios W e Wq, com verificação cruzada pela lei de Little e pela relação Pw→Lq. Exige λ < cμ (senão rejeita por instabilidade); com c = 1 as fórmulas colapsam em M/M/1. Clássico: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.

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Conversão bidirecional entre pH e concentração de íons hidrogênio: [H⁺] = 10^(−pH) mol/L e pH = −log₁₀[H⁺]. Aceita mol/L, mmol/L, µmol/L e nmol/L (a fisiologia clínica usa nmol/L: sangue arterial pH 7,35–7,45 corresponde a ≈35–45 nmol/L; pH 7,40 ↔ 39,8 nmol/L); a faixa de pH −3 a 16 cobre de superácidos a bases concentradas.

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Coeficiente de Poisson ν = −ε_lat/ε_long (deformação lateral sobre longitudinal com sinal de menos). Três direções: para ν dê ε_lat e ε_long; para ε_lat dê ν e ε_long; para ε_long dê ν e ε_lat. Tração: ε_long>0, ε_lat<0. Típico: aço ≈ 0,30, alumínio ≈ 0,33, borracha ≈ 0,49, cortiça ≈ 0. Faixa teórica 0≤ν≤0,5.

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Calcula todas as propriedades do ar úmido a partir da temperatura de bulbo seco e um parâmetro de umidade (UR φ, bulbo úmido, ponto de orvalho ou razão de umidade W): W, φ, ponto de orvalho, bulbo úmido, entalpia h, volume específico v, pressões parcial P_w e de saturação P_ws. Fórmula de Magnus; bulbo úmido resolvido iterativamente. Atmosfera padrão 101,325 kPa (ajustável). Temp. em °C/K/°F; saída em °C.

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Calcula a vazão através de uma placa de orifício conforme ISO 5167 (incompressível, Bernoulli + coeficiente de descarga C_d): A=π·d²/4, vazão volumétrica Q=C_d·A·√(2·ΔP/ρ), vazão mássica ṁ=C_d·A·√(2·ρ·ΔP), velocidade no orifício v=C_d·√(2·ΔP/ρ). Se o diâmetro do tubo D for fornecido, retorna-se a razão β=d/D. ΔP≥0, ρ>0, C_d padrão 0,61 (placa de borda viva). Diâmetro em m/cm/mm, pressão em Pa/kPa/bar/atm/psi, densidade em kg/m³/g/cm³; a vazão volumétrica é dada em m³/s, L/s, L/min e m³/h.

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Calcula o coeficiente global de transferência de calor pelo modelo de resistências térmicas em série para parede plana: resistência total R_total=ΣR_i (K/W), condutância térmica G=1/R_total (W/K) e coeficiente por área U=1/(R_total·A) (W/(m²·K)); se ΔT for fornecido, também o fluxo Q=ΔT/R_total (W). R_i é a resistência de cada camada (já referida à área, p. ex. convecção R_conv=1/(h·A), condução R_cond=d/(k·A), incrustação R_foul=R_f''/A). Insira uma resistência por linha, no mínimo uma, todas positivas. ΔT pode ser negativo (fluxo no sentido oposto); diferença em °C = diferença em K, diferença em °F ×5/9.

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Calcula, pelas leis de afinidade, o desempenho da mesma bomba em diferentes velocidades n ou com diferentes diâmetros de impulsor D: modo velocidade ratio=n₂/n₁, modo diâmetro ratio=D₂/D₁, Q₂=Q₁·ratio, H₂=H₁·ratio², P₂=P₁·ratio³. Q₁, H₁ e P₁ são parâmetros opcionais do ponto de operação de referência; se todos forem omitidos, apenas o ratio é retornado. Vazão em m³/s/L/s/L/min/m³/h, altura em m/ft, potência em W/kW/cv, diâmetro em m/cm/mm; também são fornecidos os equivalentes em SI de Q/H/P.

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Calcula a altura total de uma bomba centrífuga H=(p_d-p_s)/(ρ·g)+Δz+(v_d²-v_s²)/(2g) (em m), e daí a potência do fluido P_fluid=ρ·g·Q·H e a potência no eixo P_shaft=P_fluid/η. p_d e p_s são pressões manométricas (a sucção pode ser negativa); v_d e v_s derivam da vazão e dos diâmetros das bocais v=4Q/(π·D²); se um diâmetro for deixado em branco, o termo de altura de velocidade correspondente é omitido. Pressão em Pa/kPa/bar/atm/psi, vazão em m³/s/L/s/L/min/m³/h, densidade em kg/m³/g/cm³; potência em W/kW/cv.

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Calcula o fator de atrito de Darcy: para Re<2000 usa a fórmula laminar f=64/Re; no regime turbulento resolve iterativamente a equação de Colebrook-White e também fornece a aproximação explícita de Haaland como verificação cruzada. ε em m/mm/µm, D em m/cm/mm; o resultado inclui a rugosidade relativa ε/D, o número de iterações e o regime de escoamento.

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Calcula a perda de carga principal (por atrito) de Darcy-Weisbach em um tubo reto: ΔP=f·(L/D)·(ρ·v²/2) Pa; perda de carga h_f=ΔP/(ρ·g)=f·(L/D)·v²/(2g) m. O usuário informa o fator de atrito de Darcy f (não Fanning). Comprimento em m/km/ft, diâmetro em m/cm/mm/inch, densidade em kg/m³/g/cm³/lb/ft³ (convertida para SI). Retorna kPa, bar e carga em m/ft.