Science & Education

Formule de Rydberg 1/λ = R·Z²(1/n₁² − 1/n₂²) : choisissez un ion hydrogénoïde de charge Z (He⁺, Li²⁺…) et les niveaux inférieur/supérieur, avec R∞ à masse infinie ou correction de masse réduite pour hydrogène-1, deutérium, hélium-4 ou masse personnalisée. Donne longueur d'onde, énergie du photon, fréquence et bande ; le 4→2 de He⁺ signale sa coïncidence avec la Lyman-α de l'hydrogène (série de Pickering) et les raies de Balmer affichent leurs couleurs Hα–Hδ.

Math & Numbers

Génère tous les nombres premiers jusqu'à n (≤ 10⁷) par le crible d'Ératosthène, éventuellement restreints à [m, n]. La sortie explique la mécanique : premiers de base (p² ≤ n), nombre d'opérations de barragement et composés réels ; la liste affiche jusqu'à 200 premiers mais les comptages restent exacts. Classique : pour n = 100, les bases 2, 3, 5, 7 barrent 74 composés et laissent 25 premiers ; π(1000) = 168.

Math & Numbers

Analyse la convergence de la série Σ aₙ (aₙ comme expression de n) : applique dans l'ordre le critère du terme (aₙ → 0 ?), le critère du rapport L = |aₙ₊₁/aₙ|, le critère de la racine ρ = |aₙ|^(1/n), la comparaison aux séries de Riemann (p = −ln|a(N)|/ln N) et le critère intégral (Simpson numérique + comparaison de croissance par décade) ; les séries alternées sont détectées automatiquement et classées par le critère de Leibniz, et la somme des séries convergentes est estimée (somme partielle + queue géométrique ou en loi de puissance). Classiques : Σ1/n² converge (p≈2, somme≈1.6449) ; Σ1/n diverge (harmonique) ; Σ0.5ⁿ converge ; Σcos(πn)/n converge conditionnellement (somme≈−ln2).

Math & Numbers

Opère sur deux ensembles : union A ∪ B, intersection A ∩ B, différence A − B, différence symétrique A △ B et produit cartésien A × B. Les éléments sont des chaînes séparées par des virgules (sensibles à la casse, dédupliquées en conservant la première occurrence, 50 au maximum par ensemble) ; affiche l'ensemble résultat et les cardinaux |A|, |B| et |résultat|, avec jusqu'à 200 couples ordonnés pour le produit cartésien. Classiques : {1,2,3,4} △ {3,4,5,6} = {1,2,5,6} ; {a,b} × {x,y,z} compte 6 couples.

Math & Numbers

Résout dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par le Runge-Kutta classique d'ordre 4 : chaque pas calcule les quatre pentes k1–k4 et met à jour y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), avec une erreur globale en O(h⁴) — diviser h par 2 réduit l'erreur d'un facteur ~16. Fournit le tableau des itérations, le détail des k1–k4 des premiers pas et l'estimation finale ; la solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quasiment e.

Math & Numbers

Résout a·y'' + b·y' + c·y = f(x) : racines de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0, solution homogène classée selon le discriminant (racines réelles distinctes / double / complexes conjuguées) et solution particulière par coefficients indéterminés avec résonance (si k est racine, l'essai est multiplié par x^m). Constantes, polynômes, A·e^(kx) et A·sin(kx)+B·cos(kx) acceptés ; avec y(x₀) et y'(x₀), un système 2×2 fixe C1 et C2. Exemple classique : y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.

Health

Calcule l'indice de Shannon (Shannon–Wiener) : H′ = −Σpᵢ·ln pᵢ, avec pᵢ = nᵢ/N. H′ augmente avec la richesse S et avec l'équitabilité ; bases ln (convention classique), log₂ (bits par espèce) ou log₁₀. Indique H′max = ln(S) et l'équitabilité de Pielou J = H′/ln(S) (0–1 ; J=1 parfaitement uniforme). Repères : H′ < 1 faible, 1–3 modéré–élevé, > 3 très élevé (contextuel ; comparez des communautés à S proche).

Utilities

Une seule passe remplace le trio bit.ly + Campaign Builder + générateur de QR : saisissez la page de destination et les UTM (trio obligatoire GA4 validé, minuscules optionnelles) et obtenez l'URL complète tracée ; un slug base62 déterministe (hachage FNV-1a, même entrée → même slug, sans compte ni réseau) sur votre domaine court ; deux QR codes PNG (lien court et complet) ; plus les redirections nginx / vercel.json / Netlify et la ligne CSV de suivi de campagne.

Education

Conçoit la série classique de dilutions au 1/10 : nombre d'étapes n = ceil(log₁₀(stock ÷ cible)) à partir des concentrations, ou étapes fixées directement ; fournit le tableau des concentrations par tube (C_k = stock ÷ 10^k) et la recette par tube (mélange 1:9, p. ex. 100 µL du tube précédent + 900 µL de diluant par tube de 1 mL). Conseils : changer de cône à chaque étape, vortexer 5–10 s, travailler du plus concentré au plus dilué. À combiner avec le calculateur d'UFC/mL. Sources : Standard Methods, annexe FDA BAM. Uniquement à but éducatif.

Development

Saisissez titre, description et URL pour simuler au pixel le rendu actuel (2026) de Google : titre une ligne ~600px sur desktop, deux lignes sur mobile, ligne « site › chemin » sur desktop contre domaine seul sur mobile (changement janvier 2025), étoiles et prix en résultats enrichis, date, thèmes clair et sombre, jauges de pixels et diagnostic (FAQ rich supprimé en mai 2026).

Health

Calcule le shunt pulmonaire Qs/Qt = (CcO₂ − CaO₂)/(CcO₂ − CvO₂), avec CcO₂=1.34×Hb×1.0+0.003×PAO₂, CaO₂=1.34×Hb×SaO₂+0.003×PaO₂, CvO₂=1.34×Hb×SvO₂+0.003×PvO₂ ; PAO₂ par l'équation des gaz alvéolaires FiO₂×(P_atm−47)−PaCO₂/0.8. Normal <5% ; 10–20% shunt modéré (pneumonie/œdème/SDRA modéré) ; >20% shunt sévère (SDRA grave/syndrome hépatopulmonaire/shunt cardiaque), réfractaire à l'O₂. Le test au 100% O₂ distingue le shunt vrai du déséquilibre V/Q. En l'absence de SvO₂/PvO₂, valeurs par défaut (0.75/40) utilisées et signalées. Sources : Berggren 1942, StatPearls, LITFL, West. Non un avis médical.

Health

Calcule l'osmolalité sérique. Formule conventionnelle Osm = 2×Na + glucose/18 + BUN/2.8 (Na en mmol/L, glucose et BUN en mg/dL) ; formule SI Osm = 2×Na + glucose + urée (le tout en mmol/L). En cas de suspicion d'ingestion d'alcools toxiques on ajoute le terme éthanol EtOH/4.6. Normale ≈ 275–295 mOsm/kg. <275 → hypo-osmolalité (SIADH, polydipsie primaire, insuffisance surrénale, hypothyroïdie) ; >295 → hyper-osmolalité (hyperglycémie HHDK, hypernatrémie/perte d'eau, urémie, mannitol, alcools toxiques — ces derniers augmentent aussi le trou osmolaire). Sources : Dorwart 1975, Rasouli 2014, MDCalc. Non un avis médical.