Science & Education

Rapidité φ = artanh(β) : l'angle hyperbolique qui transforme l'addition relativiste des vitesses en addition ordinaire. Les boosts se composent en additionnant les rapidités (tanh(φ₁+φ₂) = β composée), γ = cosh φ, γβ = sinh φ, et e^φ est le facteur Doppler longitudinal. À β = 0.5, φ = 0.549306 et le doubler donne tanh(1.098612) = 0.8 — le cas 0.5c + 0.5c = 0.8c réduit à 2φ.

Science & Education

Niveaux d'une boîte de potentiel infinie 1D, E_n = n²h²/(8mL²) : particule électron/proton/neutron/alpha ou masse personnalisée, longueur de boîte en unités de m à pm. Donne E_1 (énergie de point zéro — la particule ne peut jamais être au repos), le niveau demandé, la vérification de l'onde stationnaire de de Broglie λ_dB = 2L/n, la longueur d'onde du photon de la transition n+1 → n et, en option, la échelle des niveaux jusqu'à n = 12. Un proton enfermé dans une boîte nucléaire de 10 fm donne ~2 MeV de point zéro — voilà pourquoi la physique nucléaire vit à l'échelle du MeV.

Math & Numbers

Calcule l'ordre multiplicatif ord_n(a) — le plus petit k ≥ 1 tel que a^k ≡ 1 (mod n) (exige gcd(a, n) = 1). L'algorithme part de φ(n) et retire les facteurs premiers en testant a^(ord/p) ; la sortie comprend la table des puissances de a, la preuve de minimalité (a^(k/p) ≢ 1 pour chaque premier p | k), le sous-groupe cyclique engendré <a>, et signale si a est une racine primitive (ord = φ(n)) ou atteint l'ordre maximal (ord = λ(n)). Classiques : ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 est une racine primitive modulo 7 ; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.

Math & Numbers

Décompose en fractions partielles F(x) = N(x)/D(x) (dénominateur de degré ≤ 6, numérateur ≤ 8 ; les fractions impropres sont d'abord divisées par division polynomiale) : racines du dénominateur par Durand–Kerner regroupées par multiplicité et paires conjuguées, système linéaire exact sur les coefficients donnant les termes A/(x−r)^j et (Bx+C)/((x−α)²+β²), puis vérification numérique du résidu en des points algébriques de test. Classiques : (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2) ; (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1) ; 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².

Math & Numbers

Calcule la transformée de Laplace inverse de F(s) = N(s)/D(s) (fraction propre, dénominateur de degré ≤ 6) : racines du dénominateur regroupées par multiplicité et paires conjuguées, décomposition en fractions partielles par résolution d'un système linéaire sur les coefficients polynomiaux, puis inversion terme à terme avec les paires standard (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]). Classiques : 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t) ; (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).

Development

Convertit une spec OpenAPI 3.x ou Swagger 2.0 (JSON/YAML) en Postman Collection v2.1.0 importable avec dossiers, variables, auth et réponses d'exemple.

Math & Numbers

Recalcule la liste d'ingrédients d'une recette pour un nouveau nombre de portions, en convertissant tasses/c. à s./c. à c. ⇄ grammes/ml avec des densités par ingrédient et des fractions de cuisine.

Education

Calcule le coefficient de consanguinité F de Wright : probabilité que deux allèles d'un locus soient identiques par ascendance. F_X = Σ (1/2)^(n1+n2+1) × (1 + F_A), n1/n2 étant les générations du père/de la mère à l'ancêtre commun et F_A la consanguinité de l'ancêtre, en sommant sur tous les ancêtres communs. Valeurs de référence : autofécondation 0.5, parent×descendant 0.25, germains complets 0.25 (deux chemins 1,1), demi-germains 0.125, oncle×nièce 0.125, cousins germains 0.0625 (deux chemins 2,2). Le risque récessif passe de q² à q² + F·q·(1−q). Sources : Wright 1922, Falconer & Mackay, Hartl & Clark 2007, StatPearls. Usage éducatif uniquement.

Education

Calcule les probabilités de génotypes et de phénotypes de la descendance pour les caractères liés au chromosome X. Les fils reçoivent leur unique X de la mère (le père fournit le Y) ; les filles reçoivent un X de chaque parent. Mode récessif (hémophilie A, daltonisme) : atteints X^a Y et X^a X^a ; X^A X^a porteuse ; mère porteuse × père sain → 50% des fils atteints, 0% des filles atteintes, 50% des filles porteuses. Mode dominant (rachitisme hypophosphatémique lié à l'X) : atteints X^A Y, X^A X^A et X^A X^a ; père atteint × mère saine → 100% des filles atteintes, 0% des fils. Sources : Morgan 1910, Griffiths, Hartl & Clark 2007, StatPearls. Usage éducatif uniquement.

Health

Convertit l'insuline sérique/plasmique entre unités conventionnelles (µIU/mL) et SI (pmol/L). L'insuline humaine a une masse molaire de ~5808 g/mol et une activité spécifique de ~24 UI/nmol (OMS 1er IR 83/500), donc le facteur est fixe : µIU/mL × 6.945 = pmol/L (÷6.945). Référence (adulte sain à jeun) : 2.6–24.9 µIU/mL (18–173 pmol/L). Insulinorésistance (HOMA-IR) : insuline à jeun >15 µIU/mL (~104 pmol/L) comme seuil. Bilan d'hypoglycémie : insuline >3 µIU/mL (>21 pmol/L) pendant l'hypoglycémie évoque un hyperinsulinisme endogène (insulinome, sulfamides). Sources : OMS 83/500, Young 1987, StatPearls, Matthews 1985. Non un avis médical.

Health

Calcule le PaCO₂ attendu pour la compensation respiratoire d'une acidose métabolique par la formule de Winter : 1.5×HCO₃⁻ + 8 ± 2 mmHg. Si le PaCO₂ mesuré est fourni, évalue si la compensation est adéquate (±2), ou s'il existe une acidose respiratoire concomitante (plus élevé) ou une alcalose respiratoire (plus bas). Outil ciblé sur une seule formule ; pour l'interprétation complète utilisez blood-gas-anion-gap. Sources : Albert 1967, Emmett 2016, LITFL, MDCalc. Non un avis médical.

Design

Capture une page publique et exporte les couleurs, la typographie, les espacements et les composants observés avec une image.