Observe cómo las medias muestrales convergen a una distribución normal independientemente de la forma de la población
Dada una población con media μ y desviación estándar σ, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal con media μ y desviación σ/√n a medida que n aumenta, independientemente de la forma de la población.
El TLC es la base de la inferencia estadística. Explica por qué la distribución normal aparece con tanta frecuencia en la naturaleza y justifica el uso de pruebas z, intervalos de confianza y muchos otros procedimientos estadísticos.
Para la mayoría de los propósitos prácticos, n ≥ 30 es suficiente para que el TLC proporcione una buena aproximación normal. Sin embargo, la n necesaria depende de la asimetría de la población: las distribuciones simétricas convergen más rápido.
Pierre-Simon Laplace demostró la primera forma general del TLC, mostrando que la suma de muchos errores independientes tiende a una distribución normal.
Jarl Lindeberg y William Feller proporcionaron condiciones necesarias y suficientes para que el TLC se cumpla con variables aleatorias independientes pero no idénticamente distribuidas.
Comience con n=1: el histograma de medias refleja la población. Aumente n y observe cómo emerge la curva de campana. Note cómo la dispersión se reduce como σ/√n.
Pruebe la distribución Exponencial (muy sesgada) con n=2, 10, 30, 100. Compare la velocidad de convergencia entre Bernoulli y Chi-cuadrado. Con n=1, el histograma de medias ES la población.