Observez la convergence des moyennes d'échantillonnage vers une distribution normale quelle que soit la forme de la population
Étant donné une population de moyenne μ et d'écart-type σ, la distribution des moyennes d'échantillonnage tend vers une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ/√n lorsque n augmente, quelle que soit la forme de la population.
Le TCL est le fondement de l'inférence statistique. Il explique pourquoi la loi normale apparaît si fréquemment dans la nature et justifie l'utilisation des tests z, des intervalles de confiance et de nombreuses autres procédures statistiques.
Dans la plupart des cas pratiques, n ≥ 30 suffit pour que le TCL fournisse une bonne approximation normale. Cependant, le n nécessaire dépend de l'asymétrie de la population.
Pierre-Simon Laplace a démontré la première forme générale du TCL, montrant que la somme de nombreuses erreurs indépendantes tend vers une distribution normale.
Jarl Lindeberg et William Feller ont fourni les conditions nécessaires et suffisantes pour que le TCL s'applique à des variables aléatoires indépendantes non identiquement distribuées.
Commencez avec n=1 : l'histogramme des moyennes reflète la population. Augmentez n et observez l'émergence de la courbe en cloche. La dispersion se réduit comme σ/√n.
Essayez l'Exponentielle (très asymétrique) avec n=2, 10, 30, 100. Comparez la vitesse de convergence entre Bernoulli et Khi-carré. Avec n=1, l'histogramme des moyennes EST la population.