Наблюдайте, как выборочные средние сходятся к нормальному распределению независимо от формы генеральной совокупности
Для генеральной совокупности со средним μ и стандартным отклонением σ распределение выборочных средних приближается к нормальному с средним μ и стандартным отклонением σ/√n при увеличении n, независимо от формы распределения генеральной совокупности.
ЦПТ — основа статистического вывода. Она объясняет, почему нормальное распределение так часто встречается в природе, и обосновывает использование z-тестов, доверительных интервалов и многих других статистических процедур.
Для большинства практических целей n ≥ 30 достаточно, чтобы ЦПТ обеспечивала хорошую нормальную аппроксимацию. Однако необходимое n зависит от асимметрии генеральной совокупности.
Пьер-Симон Лаплас доказал первую общую форму ЦПТ, показав, что сумма многих независимых ошибок стремится к нормальному распределению.
Ярл Линдеберг и Уильям Феллер предоставили необходимые и достаточные условия для выполнения ЦПТ для независимых, неодинаково распределённых случайных величин.
Начните с n=1: гистограмма средних повторяет генеральную совокупность. Увеличьте n и наблюдайте появление колоколообразной кривой. Разброс уменьшается как σ/√n.
Попробуйте экспоненциальное (очень асимметричное) с n=2, 10, 30, 100. Сравните скорость сходимости Бернулли и Хи-квадрат. При n=1 гистограмма средних — это и есть генеральная совокупность.