Löst Signalflussgraphen mit Masons Gain-Formel: Vorwärtszweige, Schleifen, nichtberührende Kombinationen, Δ/Δk-Determinanten und exakte Übertragungsfunktion.

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Gravitative Zeitdilatations-Rechner

Gravitative Zeitdilatation in der Schwarzschild-Metrik: Eine Uhr im Radius r um die Masse M geht mit dτ = dt·√(1 − 2GM/(rc²)) relativ zu einer Uhr im Unendlichen. Zwei Klassiker inklusive — der GPS-Orbitradius der Erde (14.4 µs/Tag langsamer als Unendlich, die gravitative Hälfte der GPS-Korrektur) und die Sonnenphotosphäre, wo ein Jahr 66.9 s länger dauert als in der Ferne. Körper: Erde/Sonne/eigene Masse; r ≤ r_s wird als Horizontinneres abgelehnt.

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Rydberg-Formel-Rechner

Rydberg-Formel 1/λ = R·Z²(1/n₁² − 1/n₂²): wählen Sie ein wasserstoffähnliches Ion der Ladung Z (He⁺, Li²⁺…) und die unteren/oberen Niveaus, mit R∞ für unendliche Kernmasse oder reduzierter Massenkorrektur für Wasserstoff-1, Deuterium, Helium-4 oder eigene Masse. Ausgegeben werden Wellenlänge, Photonenenergie, Frequenz und Bande; He⁺ 4→2 weist auf die Koinzidenz mit der Lyman-α des Wasserstoffs hin (Pickering-Serie), und die Balmer-Linien zeigen ihre Farben Hα–Hδ.

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Einzelspalt-Beugungs-Rechner

Minima der Einfachspaltbeugung a·sinθ = mλ (m = 1, 2, 3, …): Das zentrale Maximum erstreckt sich über ±θ₁ — doppelt so breit wie jeder andere Streifen. Das Werkzeug liefert die ersten vier Minima im Winkel und, mit Schirmabstand, in linearer Position — das Schwesternbild zu den Doppelspalt-Maxima.

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Snelliussches-Gesetz-Rechner

Snelliussches Gesetz n₁·sinθ₁ = n₂·sinθ₂: löst den Brechungswinkel θ₂ oder rechnet zurück auf den Einfallswinkel θ₁. Geht Licht vom dichten ins dünnere Medium und überschreitet sinθ die 1, meldet das Werkzeug Totalreflexion mit dem Grenzwinkel statt einer Zahl. Die Beispiele verfolgen denselben Strahl: ins Glas 30° → 19.47°, aus dem Glas 30° → 48.59° (dicht am Grenzwinkel 41.81°).

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Spin-Drehimpuls-Rechner

Betrag des Spindrehimpulses |S| = √(s(s+1))ℏ für eine Spinquantenzahl s, die Multiplizität 2s+1, die komplette Leiter erlaubter Projektionen mₛ sowie für die gewählte mₛ: S_z, Polarwinkel θ und das „Kegel“-Bild — |S| übertrifft stets die maximale Projektion s. Ganzzahlige und halbzahlige Spins von 0 bis 9.5 — Elektron s = 1/2, Photon s = 1 oder das Δ-Baryon s = 3/2 rechnen direkt.

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Stern-Gerlach-Ablenkungsrechner

Strahlaufspaltung im Stern-Gerlach-Versuch: Ein Spin-1/2-Atom (Moment μ_z = ±μ) erfährt im Gradienten G = dB/dz die Kraft F = μ_z·G, beschleunigt mit a = μ_z·G/m im Magneten und driftet dann frei zum Schirm. Die Vorgabewerte reproduzieren das historische Silber-Experiment: zwei diskrete Flecken statt eines klassischen Schmierflecks — die direkte Beobachtung der Raumquantisierung.

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Normalisierungskonstanten-Rechner für Wellenfunktionen

Löst die Normierungskonstante A (so dass ∫|ψ|²dx = 1) für die klassischen Familien: unendlicher Kasten ψ = A·sin(nπx/L) gibt A = √(2/L); Gauß A·exp(−x²/(2σ²)) gibt A = (πσ²)^(−1/4); Oszillator-Grundzustand A·exp(−mωx²/(2ℏ)) gibt A = (mω/πℏ)^(1/4); einseitige Exponentialfunktion A·exp(−αx) gibt A = √(2α). Mit Einheitswahrscheinlichkeitsprobe und Momenten ⟨x⟩, σ_x.

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Wasserstoff-Spektralserien-Rechner

Listet die Spektralserien des Wasserstoffs nach der Rydberg-Formel 1/λ = R∞(1/m² − 1/n²) auf: Lyman (n→1, ultraviolett), Balmer (n→2, überwiegend sichtbar), Paschen/Brackett/Pfund (n→3/4/5, infrarot). Gibt Vakuumwellenlänge und Energie jeder Linie an, benennt die ersten (Hα, Hβ… bei Balmer; α, β… bei den übrigen) mit den Farben der vier sichtbaren Balmer-Linien und ergänzt die Seriengrenze n → ∞.

Date & Time

ISO-8601-Dauer-Werkstatt: Parsen und Arithmetik

ISO-8601-Dauern parsen, 8601-2-Erweiterungen prüfen, kalendergenaue Arithmetik, nach realer Länge sortieren und Zeitpunktdifferenzen berechnen.

Math & Numbers

Sieb des Eratosthenes (Primzahlgenerator)

Erzeugt mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen bis n (≤ 10⁷), optional beschränkt auf [m, n]. Die Ausgabe erklärt die Mechanik: Basisprimzahlen (p² ≤ n), Anzahl der Streichoperationen und tatsächliche zusammengesetzte Zahlen; die Liste zeigt bis zu 200 Primzahlen, die Zählungen bleiben exakt. Klassiker: Bei n = 100 streichen die Basen 2, 3, 5, 7 genau 74 zusammengesetzte Zahlen und lassen 25 Primzahlen; π(1000) = 168.

Math & Numbers

Nullsummenspiel-Löser (Sattelpunkt / lineare Programmierung)

Löst Nullsummenspiele 2–6 × 2–6 (die Auszahlungsmatrix gehört zum Zeilenspieler, dem Maximierer; der Spaltenspieler zahlt): zuerst der Sattelpunkttest (gleicht das Maximin der Zeilenminima dem Minimax der Spaltenmaxima, existiert ein Gleichgewicht in reinen Strategien und alle Sattelzellen werden aufgelistet); andernfalls wird die Matrix verschoben, sodass alle Einträge ≥ 1 sind, und ein einphasiger Simplex (Schlupfbasis, Bland-Regel) löst max Σz u. d. N. Bz ≤ 1: das Primal liefert die gemischte Strategie q des Spaltenspielers, und die dualen Schattenpreise sind exakt die Lösung y des Zeilenspielers; der Wert wird zurückverschoben, x, q und v werden numerisch verifiziert (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) samt Minimax-Gleichheit. Klassiker: Münzwurf [[1,-1],[-1,1]] → Wert 0 mit 0.5/0.5-Mischungen.