Logistisches Bevölkerungswachstum (Verhulst-Modell)

Logistisches Bevölkerungswachstum (Verhulst-Modell) | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

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Wichtige Fakten

Kategorie: Health
Eingabetypen: number
Ausgabetyp: json
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der Rechner für logistisches Bevölkerungswachstum nach dem Verhulst-Modell ermittelt N_t = K/(1+((K−N₀)/N₀)·e^(−rt)) aus Anfangspopulation N₀, Tragfähigkeit K, intrinsischer Rate r und Zeit t. Er liefert zusätzlich den Anteil an K sowie die momentane Rate dN/dt = r·N·(1−N/K), die bei N = K/2 maximal ist. r und t müssen in derselben Einheit liegen; das klassische Modell gilt für r > 0.

Wann verwenden

Wenn Sie das durch Ressourcen begrenzte Wachstum einer Population (Zellen, Individuen, Biomasse) nach Verhulst berechnen möchten.
Wenn N₀ über K liegt und Sie den Rückgang in Richtung Tragfähigkeit nachvollziehen wollen.
Wenn Sie neben N_t auch den erreichten Anteil von K und die momentane Wachstumsrate dN/dt brauchen.

So funktioniert es

1Geben Sie N₀ (Anfangspopulation), K (Tragfähigkeit), r (intrinsische Wachstumsrate, > 0) und t (vergangene Zeit in derselben Einheit wie r) ein.
2Optional legen Sie die Anzahl der Dezimalstellen fest (Standard 2).
3Der Rechner wertet die Verhulst-Formel aus und bestimmt N_t, den Prozentanteil von K sowie dN/dt = r·N·(1−N/K).
4Bei N ≪ K nähert sich das Ergebnis dem exponentiellen Wachstum; bei N nahe K/2 ist die momentane Rate am höchsten.

Anwendungsfälle

Mikrobiologische Kulturen im Labor: Zellzahl nach festgelegter Inkubationszeit bei bekannter Tragfähigkeit schätzen.
Ökologie: Populationsentwicklung einer Art unter begrenzten Ressourcen und maximalem Dauerertrag bei N ≈ K/2.
Biomathematik: Sigmoidkurve, Anteil der Tragfähigkeit und Phasen (schnellstes Wachstum vs. Rückgang) für Modelle berechnen.

Beispiele

1. Kultur nahe der Tragfähigkeit

Labortechnikerin Mikrobiologie

Hintergrund

Eine Bakterienkultur startet mit 100 Zellen. Die Tragfähigkeit des Mediums liegt bei 10 000, r beträgt 0,5 pro Stunde.

Aufgabe

Nach 10 Stunden N_t, den Anteil an K und die momentane Wachstumsrate brauchen.

Verwendung

N₀ = 100, K = 10000, r = 0,5, t = 10 und 2 Dezimalstellen eingeben.

n0: 100, k: 10000, r: 0.5, t: 10, decimalPlaces: 2

Ergebnis

N(10) ≈ 5998,6 (60 % von K). dN/dt ≈ 1200,14 Zellen pro Stunde, nahe dem Maximum, weil N ungefähr K/2 ist.

2. Rückgang über der Tragfähigkeit

Ökologe

Hintergrund

Eine Population von 12 000 Individuen liegt über der Tragfähigkeit K = 10 000. r = 0,5.

Aufgabe

Nach 5 Zeiteinheiten soll der Rückgang in Richtung K und die negative momentane Rate ermittelt werden.

Verwendung

N₀ = 12000, K = 10000, r = 0,5, t = 5 eingeben.

FAQ

Welche Eingaben sind erforderlich?

N₀, K, r (> 0) und t. Die Zeit t muss in derselben Einheit wie r angegeben werden.

Was bedeutet die Tragfähigkeit K?

K ist die maximale nachhaltige Populationsgröße unter den gegebenen Ressourcen. Das Wachstum nähert sich K an bzw. fällt bei N₀ > K auf K zurück.

Was ist die momentane Rate dN/dt?

dN/dt = r·N·(1−N/K). Sie ist bei N = K/2 am größten und negativ, wenn die Population über K liegt.

Wann ist das Wachstum nahezu exponentiell?

Solange N deutlich kleiner als K ist (N ≪ K), verhält sich das Modell wie exponentielles Wachstum und konvergiert zum entsprechenden Ergebnis.

Welche Einheiten gelten für r und t?

r und t müssen dieselbe Zeiteinheit haben (z. B. beide in Stunden). Die Populationseinheit von N₀ und K ist beliebig, aber konsistent.

n0: 12000, k: 10000, r: 0.5, t: 5, decimalPlaces: 2

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1. Kultur nahe der Tragfähigkeit

2. Rückgang über der Tragfähigkeit

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