Elysia Tools
导航
Science & Education
解出经典波函数族的归一化系数 A（使 ∫|ψ|²dx = 1）：无限深阱 ψ = A·sin(nπx/L) 给 A = √(2/L)；高斯 A·exp(−x²/(2σ²)) 给 A = (πσ²)^(−1/4)；谐振子基态 A·exp(−mωx²/(2ℏ)) 给 A = (mω/πℏ)^(1/4)；单边指数 A·exp(−αx) 给 A = √(2α)。附带单位概率检验与 ⟨x⟩、σ_x 矩。
执行
填写表单、运行工具，并在同一页面查看结果。
案例
相关内容
工具使用指南
波函数归一化系数计算器用于快速求解一维量子力学典型波函数族的归一化常数 A，确保全空间全概率积分满足 ∫|ψ|²dx = 1。工具支持无限深势阱、高斯波包、一维谐振子基态以及单边指数衰减函数，并自动输出解析表达式、数值解、单位概率校验值以及位置期望值 ⟨x⟩ 与位置不确定度 σ_x。
背景
正在完成量子力学导论中关于一维无限深方势阱的作业题。
问题
需要求出阱宽 L = 1 nm、能级 n = 1 的波函数归一化常数及基态位置期望值。
如何使用
选择波函数族为“无限深阱”，输入阱宽 1e-9，能级填写 1 并提交计算。
family: box, wellLength: 1e-9, wellLevel: 1结果
得出 A = 4.47214×10⁴ m^(-1/2)，并给出 ⟨x⟩ = 0.5 nm 与 σ_x ≈ 0.1808 nm。
背景
需要构建受约束单分子的谐振子势场基态波函数模型。
问题
已知振子质量为电子质量（9.109×10⁻³¹ kg），角频率为 1×10¹⁶ rad/s，需获取准确的归一化系数。
如何使用
波函数族选择“谐振子基态”，输入质量 9.109e-31 与频率 1e16。
family: ho, hoMass: 9.109e-31, hoOmega: 1e16结果
计算出振幅 A 与对应的基态波函数解析式，并验证单位概率检验值为 1.000000。
根据量子力学玻恩概率诠释，粒子在全空间出现的总概率必须为 1，即 ∫|ψ|²dx = 1。
不会，由于正弦平方在任意整数半波周期内的平均积分均为 1/2，各能级的归一化系数均为 √(2/L)。
计算采用约化普朗克常数 ℏ（约 1.05457×10⁻³⁴ J·s），并结合输入的质量 m 与频率 ω 计算 (mω/πℏ)^(1/4)。
对于高斯基态波函数，参数 σ 精确等于该态的位置标准差（位置不确定度）σ_x。
指数衰减波函数 ψ(x) = A·exp(−αx) 的积分定义域为半无限区间 [0, ∞)，归一化系数为 √(2α)。