Math & Numbers

求解同余方程组 x ≡ rᵢ (mod mᵢ)（2–20 条方程），采用逐对合并的广义中国剩余定理：模数两两互素时合并模数为乘积，非互素但相容时合并模数为最小公倍数，不相容（公因数不整除余数差）则明确报告无解。每条方程都会对最终解回代验证。经典例：x ≡ 2 (mod 3)、x ≡ 3 (mod 5)、x ≡ 2 (mod 7) 的解为 x = 23 (mod 105)。

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用教科书版匈牙利算法求解 2–8 × 2–8 的指派问题（支持矩形矩阵，自动补零成本哑行/哑列）：先做行约简与列约简，再用增广路径在零元素中找最大匹配，不够则按 König 定理用最少直线覆盖所有零并调整矩阵，每轮减未覆盖最小元、加双覆盖交点；最大化问题内部取负求解后报告收益。逐步输出约简与覆盖过程，给出最优指派与总成本并代回验证。经典例：[[9,2,7],[6,4,3],[5,8,1]] 最小化 → 总成本 9（工人 1→任务 2、工人 2→任务 1、工人 3→任务 3）。

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生成多重集的排列、组合与子集，自动去重并按字典序输出：排列用 next_permutation，精确计数 n!/Π(mᵢ!)；组合生成不同的 k-子多重集，计数为 Π(1+x+…+x^mᵢ) 中 x^k 的系数（元素互异时即 C(n,k)）；子集枚举所有子多重集，计数 Π(mᵢ+1)（互异时 2ⁿ），含空集。最多 12 个元素，展示上限 200 条但计数始终精确；组合模式要求 1 ≤ k ≤ n。经典例：[A, A, B] 的排列 → 3!/2! = 3 个（AAB、ABA、BAA）；[A, A, B] 的子集 → (2+1)(1+1) = 6 个。

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对 2–20 个活动（每行：名称、工期、紧前活动）做关键路径法分析：拓扑排序后正推得各活动最早开始/结束（ES/EF），逆推得最迟开始/结束（LS/LF）与总时差，零时差活动构成关键路径——工具列出所有关键路径而非仅第一条。未知紧前、重名、循环依赖按业务拒绝。经典例：A(4)、B(3, A)、C(2, A)、D(5, B)、E(4, C)、F(2, D E) → 项目工期 14，关键路径 A→B→D→F，C/E 时差各 2。

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化简布尔函数并给出最小与或式（SOP）：输入表达式（A–D，+ 或 · 与、' 非，≤4 个变量）或直接给最小项 Σm 列表；用 Quine-McCluskey 算法求全部素蕴涵项，先取必要素蕴涵项再做精确最小覆盖，输出最小 SOP、格雷码卡诺图（2–4 变量）、Σm 规范式，并在全部赋值上验证与原函数一致。经典例：AB + A'B → B；Σm(0,1,2,4,5,6)（3 变量）→ B' + C'。

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数值计算两个信号的卷积 (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ：支持因果模式（两信号在 t<0 时取 0，积分区间 [max(τmin,0), min(τmax,t)]，适配拉普拉斯域乘积）与直接窗口模式（在整个 [τmin, τmax] 上积分，适配高斯等双边信号），采用复合 Simpson 公式（默认 2000 区间）。经典例：e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t)，t=1 时为 0.2325；两个高斯卷积仍为高斯：√(π/2)·e^(−t²/2)。

Finance

在小数、分数、美式三种赔率格式间换算并算隐含概率，另含串关组合赔率与去水公平赔率计算。

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角速度/角频率单位互转：rad/s（SI 基准）↔ rpm（转每分，1=2π/60 rad/s）↔ deg/s（度每秒，1=π/180 rad/s）↔ Hz（转每秒，1=2π rad/s）。注意 Hz 用于角频率时指每秒一整圈，故 1 Hz=2π rad/s。经 rad/s 中转后输出目标单位，并列出全部四单位等值。参考：黑胶 33⅓ rpm≈3.49 rad/s、发动机怠速 ~800 rpm≈83.8 rad/s。

Finance

逐年展示定投、复利、费用和通胀如何共同改变资产增长。

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失重法均匀腐蚀速率（ASTM G1）：CR(mm/a) = 87.6 × ΔW / (ρ × A × t)，ΔW 失重 mg、ρ 密度 g/cm³、A 面积 cm²、t 时间 h。同时输出 mpy（密耳/年，= mm/a × 39.37）和碳钢 NACE 腐蚀等级参考（优/良/中/差）。常用于浸泡/挂片试验。

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颗粒/多孔材料的体积密度与孔隙率。体积密度 ρ_bulk = m/V_bulk，三向反算（求 ρ、m 或 V）。可选填真密度 ρ_true → 孔隙率 ε = 1 − ρ_bulk/ρ_true。相对密度 = ρ_bulk/ρ_water。质量 kg、体积 m³、密度 kg/m³。

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由新风风量 Q 与房间体积 V 求换气次数 n=Q/V（单位 1/h）。支持三种模式：求 n（给 Q、V）、求风量 Q（给 n、V）、求体积 V（给 n、Q）。风量支持 m³/s/m³/h/CFM，体积支持 m³/ft³/L。并按完全混合单区衰减模型给出达到设定净化目标（剩余比例，默认 1%）所需时间 t=−ln(ε)/n。