Динамика популяций
Циклическое доминирование и спиральные волны
В модели пространственных Камень-Ножницы-Бумага три конкурирующие стратегии расположены на двумерной сетке. Каждая стратегия побеждает одну и проигрывает другой в циклическом порядке: Камень бьёт Ножницы, Ножницы бьют Бумагу, Бумага бьёт Камень. Когда ячейки могут захватывать побеждённых соседей, система спонтанно генерирует завораживающие паттерны спиральных волн из случайных начальных условий.
Циклическое доминирование
В отличие от конкурентного исключения, когда один вид вытесняет другие до вымирания, циклическое доминирование поддерживает биоразнообразие бесконечно. Ни одна стратегия не может доминировать, поскольку всегда уязвима перед другой. Этот цикл К > Н > Б > К создаёт бесконечную погоню по пространственной сетке.
Образование спиральных волн
Процесс вторжения создаёт бегущие волновые фронты, где каждая стратегия преследует ту, которую побеждает. Там, где волновые фронты встречаются под углами, они сворачиваются в спирали. Эти спирали самоподдерживаются: кончик непрерывно вращается, порождая новые рукава. Подобные спиральные волны встречаются в химических реакциях (Белоусов-Жаботинский) и сердечной ткани.
Модель Мэя-Леонарда
Математика основана на репликаторном уравнении Мэя-Леонарда. В хорошо перемешанном (среднеполевом) случае траектории спирально сходятся к фиксированной точке сосуществования. На пространственной решётке локальные взаимодействия нарушают среднеполевое приближение, стабилизируя спиральные волны и сохраняя сосуществование значительно дольше, чем предсказывают панмиктические модели.
Реальные приложения
Циклическое доминирование встречается в природе: ящерицы (Uta stansburiana) имеют три мужских морфы (оранжевая, синяя, жёлтая), следующие КНБ-динамике; морские сидячие организмы циклически конкурируют за субстрат; популяции E. coli с генами токсин-антитоксин демонстрируют взаимодействия камень-ножницы-бумага. В экономике многопартийная рыночная конкуренция и циклы технологического освоения показывают аналогичные закономерности.
Роль мутации
Небольшие скорости мутаций вносят стохастический шум, препятствующий переходу системы в статические домены. Мутации создают новые кластеры стратегий, способные зарождать свежие спиральные волны. Слишком высокая мутация полностью разрушает пространственную структуру, создавая хорошо перемешанное шумовое состояние. Баланс между отбором (вторжением) и мутацией контролирует богатство паттернов.
Поддержание биоразнообразия
Пространственная структура — мощный механизм поддержания биоразнообразия. Без пространства циклические КНБ-игры сходятся к нейтральному равновесию, легко дестабилизируемому. На решётке локальные взаимодействия создают защитные кластеры, оберегающие стратегии от вымирания. Это объясняет, почему биоразнообразие обычно выше в пространственно структурированных местообитаниях.