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Calcula a ordem multiplicativa ord_n(a) — o menor k ≥ 1 com a^k ≡ 1 (mod n) (exige mdc(a, n) = 1). O algoritmo parte de φ(n) e vai removendo fatores primos testando a^(ord/p); a saída inclui a tabela de potências de a, a prova de minimalidade (a^(k/p) ≢ 1 para cada primo p | k), o subgrupo cíclico gerado <a>, e indica se a é raiz primitiva (ord = φ(n)) ou atinge a ordem máxima (ord = λ(n)). Clássicos: ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 é raiz primitiva mod 7; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.
Execução
Preencha o formulário, execute a ferramenta e veja o resultado no mesmo lugar.
Exemplos
Relacionado
Guia de uso da ferramenta
Calcule a ordem multiplicativa de um elemento a módulo n, encontrando o menor expoente inteiro positivo k tal que a^k ≡ 1 (mod n), com tabela de potências, prova de minimalidade e identificação de raízes primitivas.
Contexto
Precisa validar se a base 3 gera todo o grupo multiplicativo módulo 7 para uma implementação acadêmica.
Problema
Calcular ord_7(3) e confirmar a minimalidade do ciclo completo.
Como usar
Preencha '3' no campo 'Elemento a' e '7' no campo 'Módulo n'.
Resultado
Exibe ord_7(3) = 6 = φ(7), tabela com potências 3, 2, 6, 4, 5, 1 e confirmação de que 3 é raiz primitiva.
Contexto
Analisando subgrupos em módulos compostos que não possuem raízes primitivas.
Problema
Descobrir o tamanho do subgrupo gerado pelo elemento 2 módulo 15.
Como usar
Insira '2' no campo 'Elemento a' e '15' no campo 'Módulo n'.
Resultado
Retorna ord_15(2) = 4, identificando que atinge a ordem máxima λ(15) = 4 com subgrupo <2> = {2, 4, 8, 1}.
É o menor inteiro positivo k ≥ 1 que satisfaz a congruência a^k ≡ 1 (mod n).
Se mdc(a, n) > 1, a não é invertível módulo n e nenhuma de suas potências deixará resto 1 na divisão por n.
Um elemento a é classificado como raiz primitiva quando sua ordem multiplicativa é exatamente igual a φ(n).
φ(n) é o totiente de Euler (total de coprimos), enquanto λ(n) é o expoente de Carmichael (maior ordem possível de qualquer elemento mod n).
O valor de a pode conter até 512 dígitos, e o módulo n aceita valores de 2 até 10¹².