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Ordre multiplicatif modulo n (ordre d'un élément)

· Dernière mise à jour：2026-08-27

Calcule l'ordre multiplicatif ord_n(a) — le plus petit k ≥ 1 tel que a^k ≡ 1 (mod n) (exige gcd(a, n) = 1). L'algorithme part de φ(n) et retire les facteurs premiers en testant a^(ord/p) ; la sortie comprend la table des puissances de a, la preuve de minimalité (a^(k/p) ≢ 1 pour chaque premier p | k), le sous-groupe cyclique engendré <a>, et signale si a est une racine primitive (ord = φ(n)) ou atteint l'ordre maximal (ord = λ(n)). Classiques : ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 est une racine primitive modulo 7 ; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.

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Aperçu

Ce calculateur détermine l'ordre multiplicatif ord_n(a), c'est-à-dire le plus petit entier k ≥ 1 tel que a^k ≡ 1 (mod n), à condition que a et n soient premiers entre eux. Il génère la décomposition, calcule l'indicatrice d'Euler φ(n) et la fonction de Carmichael λ(n), affiche la table des puissances successives, fournit la preuve de minimalité et identifie les racines primitives.

Quand l’utiliser

  • Recherche d'un générateur ou d'une racine primitive pour un groupe multiplicatif (Z/nZ)*.
  • Dimensionnement des paramètres de protocoles cryptographiques basés sur le logarithme discret ou RSA.
  • Résolution d'exercices d'arithmétique modulaire et d'analyse de sous-groupes cycliques en théorie des nombres.

Fonctionnement

  1. 1L'outil vérifie que pgcd(a, n) = 1 et réduit l'élément a modulo n.
  2. 2Il factorise l'indicatrice d'Euler φ(n) ou la fonction λ(n) pour tester les diviseurs premiers potentiels.
  3. 3Il calcule le plus petit exposant k satisfaisant a^k ≡ 1 (mod n) et vérifie que a^(k/p) ≢ 1 pour chaque facteur premier p de k.
  4. 4Il affiche la table des puissances, la liste des éléments du sous-groupe engendré <a> et indique si a est une racine primitive.

Cas d’usage

  • Vérification de l'ordre d'une base dans le protocole d'échange de clés Diffie-Hellman.
  • Détermination de la période de répétition des décimales d'une fraction ou d'un générateur congruentiel linéaire.
  • Étude de la structure des sous-groupes cycliques dans l'enseignement des mathématiques supérieures.

Exemples

1. Identification d'une racine primitive modulo 7

Étudiant en mathématiques

Contexte

L'étudiant étudie le groupe multiplicatif (Z/7Z)* dans le cadre d'un cours d'algèbre.

Problème

Déterminer si l'élément 3 est un générateur du groupe modulo 7.

Utilisation

Saisir a = 3 et n = 7 dans le formulaire.

a = 3, n = 7

Résultat

L'outil indique ord_7(3) = 6 = φ(7), liste les 6 éléments du sous-groupe engendré et confirme que 3 est une racine primitive.

2. Analyse d'un ordre sous-maximal modulo 15

Développeur en sécurité informatique

Contexte

Le développeur teste les propriétés d'un module composé pour un système cryptographique.

Problème

Calculer la période des puissances de 2 modulo 15 et vérifier si un générateur complet existe.

Utilisation

Saisir a = 2 et n = 15 dans les champs correspondants.

FAQ

Quelle est la condition nécessaire pour que l'ordre multiplicatif existe ?

L'entier a et le module n doivent être premiers entre eux (pgcd(a, n) = 1) pour que a soit inversible modulo n.

Qu'est-ce qu'une racine primitive modulo n ?

C'est un élément dont l'ordre multiplicatif est exactement égal à φ(n), engendrant ainsi la totalité des unités inversibles de (Z/nZ)*.

Quelle est la limite pour la valeur du module n ?

Le module n peut aller jusqu'à 10¹² pour permettre une factorisation rapide de n et de φ(n).

Quelle est la différence entre φ(n) et λ(n) ?

φ(n) est l'ordre total du groupe des unités, tandis que λ(n) (fonction de Carmichael) représente l'ordre maximal possible pour un élément modulo n.

Comment est prouvée la minimalité de l'ordre k trouvé ?

L'outil vérifie que pour chaque facteur premier p divisant k, la quantité a^(k/p) n'est pas congrue à 1 modulo n.

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Math & Numbers

Calculateur de la fonction de Carmichael λ(n)

Calcule la fonction de Carmichael λ(n) — l'exposant du groupe multiplicatif (Z/nZ)*, c'est-à-dire le plus petit k tel que a^k ≡ 1 (mod n) pour tout a premier avec n. Construite depuis la factorisation (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) pour k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) pour les puissances impaires, puis PPCM), avec φ(n) en regard, l'existence d'une racine primitive et le critère de Korselt pour repérer les nombres de Carmichael. Classiques : λ(561) = 80 (561 est le plus petit nombre de Carmichael) et λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

Math & Numbers

Théorème des restes chinois (système de congruences)

Résout le système x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2 à 20 congruences) par le théorème des restes chinois généralisé avec fusion par paires : modules premiers entre eux → module combiné égal au produit ; non premiers entre eux mais compatibles → PPCM ; système incompatible → absence de solution signalée clairement. Chaque congruence est vérifiée contre la solution finale. Classique : x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

Math & Numbers

Générateur de permutations / combinaisons / sous-ensembles (avec répétitions)

Génère permutations, combinaisons et sous-ensembles d'un multiensemble avec dédoublonnage automatique en ordre lexicographique : les permutations suivent next_permutation avec comptage exact n!/Π(mᵢ!) ; les combinaisons donnent les k-sous-multiensembles distincts, comptés comme coefficient de x^k dans Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si tous les éléments sont distincts) ; les sous-ensembles énumèrent chaque sous-multiensemble avec comptage Π(mᵢ+1) (2ⁿ si tous distincts), ensemble vide inclus. Jusqu'à 12 éléments, affichage plafonné à 200 entrées mais comptage toujours exact ; le mode combinaisons exige 1 ≤ k ≤ n. Classiques : permutations de [A, A, B] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA) ; sous-ensembles de [A, A, B] → (2+1)(1+1) = 6.

Math & Numbers

Calculateur de l'indicatrice d'Euler φ(n)

Calcule l'indicatrice d'Euler φ(n) — le nombre d'entiers de [1, n] premiers avec n. Factorise n par divisions d'essai puis évalue exactement φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), avec option pour lister les 60 premiers nombres premiers avec n et le rappel du théorème d'Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Classiques : φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²) ; si n est premier, φ(n) = n − 1, p. ex. φ(97) = 96.

a = 2, n = 15

Résultat

L'ordre obtenu est ord_15(2) = 4 (égal à λ(15)), avec un sous-groupe à 4 éléments {2, 4, 8, 1}, confirmant l'absence de racine primitive modulo 15.