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Math & Numbers
Calcule l'ordre multiplicatif ord_n(a) — le plus petit k ≥ 1 tel que a^k ≡ 1 (mod n) (exige gcd(a, n) = 1). L'algorithme part de φ(n) et retire les facteurs premiers en testant a^(ord/p) ; la sortie comprend la table des puissances de a, la preuve de minimalité (a^(k/p) ≢ 1 pour chaque premier p | k), le sous-groupe cyclique engendré <a>, et signale si a est une racine primitive (ord = φ(n)) ou atteint l'ordre maximal (ord = λ(n)). Classiques : ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 est une racine primitive modulo 7 ; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.
Exécution
Remplissez le formulaire, lancez l’outil et consultez le résultat au même endroit.
Exemples
Associé
Guide d'utilisation de l'outil
Ce calculateur détermine l'ordre multiplicatif ord_n(a), c'est-à-dire le plus petit entier k ≥ 1 tel que a^k ≡ 1 (mod n), à condition que a et n soient premiers entre eux. Il génère la décomposition, calcule l'indicatrice d'Euler φ(n) et la fonction de Carmichael λ(n), affiche la table des puissances successives, fournit la preuve de minimalité et identifie les racines primitives.
Contexte
L'étudiant étudie le groupe multiplicatif (Z/7Z)* dans le cadre d'un cours d'algèbre.
Problème
Déterminer si l'élément 3 est un générateur du groupe modulo 7.
Utilisation
Saisir a = 3 et n = 7 dans le formulaire.
a = 3, n = 7Résultat
L'outil indique ord_7(3) = 6 = φ(7), liste les 6 éléments du sous-groupe engendré et confirme que 3 est une racine primitive.
Contexte
Le développeur teste les propriétés d'un module composé pour un système cryptographique.
Problème
Calculer la période des puissances de 2 modulo 15 et vérifier si un générateur complet existe.
Utilisation
Saisir a = 2 et n = 15 dans les champs correspondants.
L'entier a et le module n doivent être premiers entre eux (pgcd(a, n) = 1) pour que a soit inversible modulo n.
C'est un élément dont l'ordre multiplicatif est exactement égal à φ(n), engendrant ainsi la totalité des unités inversibles de (Z/nZ)*.
Le module n peut aller jusqu'à 10¹² pour permettre une factorisation rapide de n et de φ(n).
φ(n) est l'ordre total du groupe des unités, tandis que λ(n) (fonction de Carmichael) représente l'ordre maximal possible pour un élément modulo n.
L'outil vérifie que pour chaque facteur premier p divisant k, la quantité a^(k/p) n'est pas congrue à 1 modulo n.
Calculateurs, outils numériques, logique de dates, statistiques et finance
a = 2, n = 15Résultat
L'ordre obtenu est ord_15(2) = 4 (égal à λ(15)), avec un sous-groupe à 4 éléments {2, 4, 8, 1}, confirmant l'absence de racine primitive modulo 15.