Elysia Tools
Mobile Navigation
Math & Numbers
Berechnet die multiplikative Ordnung ord_n(a) — das kleinste k ≥ 1 mit a^k ≡ 1 (mod n) (erfordert ggT(a, n) = 1). Der Algorithmus startet bei φ(n) und entfernt Primfaktoren unter Prüfung von a^(ord/p); die Ausgabe enthält die Potenztafel von a, den Minimalitätsbeweis (a^(k/p) ≢ 1 für jede Primzahl p | k), die erzeugte zyklische Untergruppe <a> sowie Kennzeichnungen, ob a Primitivwurzel ist (ord = φ(n)) oder die maximale Ordnung erreicht (ord = λ(n)). Klassiker: ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 ist Primitivwurzel modulo 7; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.
Ausführung
Fülle das Formular aus, starte das Tool und prüfe das Ergebnis an einem Ort.
Beispiele
Verwandt
Leitfaden zur Tool-Nutzung
Dieses Tool berechnet die multiplikative Ordnung ord_n(a) eines Elements a modulo n. Es bestimmt das kleinste k ≥ 1 mit a^k ≡ 1 (mod n), liefert die vollständige Potenztafel, prüft die Minimalität und ermittelt die erzeugte zyklische Untergruppe <a> sowie Eigenschaften wie Primitivwurzeln und maximale Ordnungen.
Hintergrund
Für ein Zahlentheorie-Tutorium soll nachgewiesen werden, dass 3 eine Primitivwurzel modulo 7 ist.
Aufgabe
Berechnung von ord_7(3) inklusive Potenztafel und Minimalitätsnachweis.
Verwendung
Trage 3 als Element a und 7 als Modul n in die Eingabefelder ein.
Ergebnis
Das Tool liefert ord_7(3) = 6 = φ(7), zeigt die vollständige Untergruppe {3, 2, 6, 4, 5, 1} und bestätigt den Primitivwurzelstatus.
Hintergrund
Untersuchung der zyklischen Untergruppe erzeugt durch das Element 2 im Restklassenring Z/15Z.
Aufgabe
Bestimmung der Untergruppenordnung und Vergleich mit φ(15) und λ(15).
Verwendung
Trage 2 als Element a und 15 als Modul n ein.
Ergebnis
Das Tool gibt ord_15(2) = 4 aus, bestätigt ord = λ(15) = 4 und weist nach, dass 2 genau 4 von 8 Einheiten erzeugt.
Es ist die kleinste positive ganze Zahl k ≥ 1, für die a^k ≡ 1 (mod n) gilt.
Wenn ggT(a, n) > 1 ist, kann keine Potenz von a kongruent zu 1 modulo n sein, da a keine Einheit in Z/nZ ist.
Ein Element a ist eine Primitivwurzel modulo n, wenn seine Ordnung genau gleich φ(n) ist und es somit alle Einheiten erzeugt.
Das Tool unterstützt Moduln n im Bereich von 2 bis 10¹² und Elemente a mit Werten bis zu 10⁵¹².
Das Element erreicht die maximal mögliche Ordnung in der Gruppe (Z/nZ)*, auch wenn keine Primitivwurzel existiert.