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Calcula el orden multiplicativo ord_n(a) — el menor k ≥ 1 con a^k ≡ 1 (mod n) (exige gcd(a, n) = 1). El algoritmo parte de φ(n) y va retirando factores primos probando a^(ord/p); la salida incluye la tabla de potencias de a, la prueba de minimalidad (a^(k/p) ≢ 1 para cada primo p | k), el subgrupo cíclico generado <a>, y señala si a es raíz primitiva (ord = φ(n)) o alcanza el orden máximo (ord = λ(n)). Clásicos: ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 es raíz primitiva mod 7; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.
Ejecución
Completa el formulario, ejecuta la herramienta y revisa el resultado en un solo lugar.
Ejemplos
Relacionado
Guía de uso de la herramienta
Esta herramienta calcula el orden multiplicativo de un elemento a módulo n, determinando el menor entero positivo k tal que a^k ≡ 1 (mod n). Requiere que a y n sean coprimos y proporciona un análisis completo que incluye la reducción módulo n, la tabla de potencias sucesivas, la prueba de minimalidad, el subgrupo cíclico generado ⟨a⟩ y la verificación de si el elemento es una raíz primitiva o alcanza el orden maximal λ(n).
Contexto
Debe hallar un generador para el grupo multiplicativo Z/7Z en una práctica de álgebra.
Problema
Comprobar si el elemento 3 genera todas las unidades módulo 7.
Cómo usarlo
Introduce a = 3 y n = 7 en los campos correspondientes y ejecuta la herramienta.
a = 3, n = 7Resultado
Obtiene ord_7(3) = 6 = φ(7), confirmando que 3 es raíz primitiva con el subgrupo generado ⟨3⟩ = {3, 2, 6, 4, 5, 1}.
Contexto
Analiza la estructura del grupo multiplicativo módulo un número compuesto no primo.
Problema
Determinar el orden del elemento 2 mod 15 y verificar si existe alguna raíz primitiva.
Cómo usarlo
Ingresa a = 2 y n = 15 para obtener la descomposición del orden y el subgrupo.
a = 2, n = 15Si a y n comparten un divisor común mayor que 1, cualquier potencia a^k mantendrá ese factor y nunca podrá ser congruente con 1 módulo n.
Una raíz primitiva tiene orden ord = φ(n) y genera todas las unidades; cuando el grupo no es cíclico, no existen raíces primitivas y el orden más alto posible es λ(n).
El módulo n admite valores enteros desde 2 hasta 10¹² para garantizar una factorización y cálculo eficientes.
Demuestra que para cada factor primo p que divide al orden k hallado, a^(k/p) ≢ 1 (mod n), garantizando que no existe un divisor menor válido.
Sí, la herramienta reduce automáticamente a módulo n antes de iniciar el cálculo del orden.
Resultado
El resultado indica ord_15(2) = 4 = λ(15) < φ(15) = 8, mostrando que 2 alcanza el orden máximo pero 15 no tiene raíz primitiva.