Familia de la Transformada de Fourier - Visualización Interactiva

La Familia de la Transformada de Fourier

Concepto Central

"Proyectar señales en bases sinusoidales de diferentes frecuencias para encontrar el peso (coeficiente) de cada base"

Jerarquía de Transformaciones (Teoría → Práctica)

Nombre	Señal de Entrada	Salida	Complejidad	Implementación
TF Continua	Continua, Aperiódica	Espectro Continuo	—	Casi Imposible
Series de Fourier	Continuo (Periódico)	Espectro Discreto	—	Difícil
TFTD	Discreta, Aperiódica	Continuo (Periódico)	—	Casi Imposible
TFD	Discreta, Finita	Espectro Discreto	O(N²)	Lento pero Posible
TFR	Igual que TFD	Igual que TFD	O(N log N)	★ Rápido y Fácil ★

Factor de Rotación (Twiddle Factor)

W_N = e^-j2π/N

La clave para entender FFT - puntos equidistantes en el círculo unitario

W_N^N = 1 Periodicidad: W^N = 1

W_N^N/2 = -1 Simetría: W^(N/2) = -1

W_N/2 = W_N² Reducciones: W_{N/2} = W²

Dominio del Tiempo ↔ Dominio de la Frecuencia

Explora cómo se ven diferentes señales en el dominio de la frecuencia

Tipo de Señal

Frecuencia: 1 Hz

Amplitud: 1

Armónicos (para aproximación): 5

Tasa de Muestreo: 100 Hz

Tamaño de Ventana (N): 256

Fórmula TFD

X[k] = Σ_n=0^N-1 x[n] · e^-j2πkn/N

Señal en el Dominio del Tiempo

Espectro de Frecuencia (Magnitud)

Espectro de Fase

Aproximación por Series de Fourier

Observa cómo las señales periódicas se construyen a partir de armónicos

Tipo de Onda

Número de Armónicos: 1

Mostrar Armónicos Individuales

Animar Fases

Fórmula de Series de Fourier

x(t) = a₀ + Σ_n=1^∞ (a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))

Aproximación de Señal (Verde = Actual, Rojo = Objetivo)

Armónicos Individuales

Coeficientes de Fourier

Diagrama de Mariposa FFT

Visualiza el algoritmo FFT radix-2 de Cooley-Tukey

Tamaño FFT (N): 8

Velocidad de Animación

Mostrar Valores Complejos

Resaltar Etapa

Operación de Mariposa

A' = A + W_N^k · B
B' = A - W_N^k · B

Permutación de Inversión de Bits

Gráfico de Flujo de Señal

Rendimiento TFD vs TFR

Compara complejidad computacional: O(N²) vs O(N log N)

N Máximo a Probar: 4096

Recuento Teórico de Operaciones

N	DFT (N²)	FFT (N log₂N)	Aceleración

Tiempo de Ejecución (ms)

Recuento de Operaciones

Relación de Aceleración

Análisis de Espectro de Audio en Tiempo Real

Visualiza el contenido de frecuencia del audio en tiempo real usando FFT

Fuente de Audio

Frecuencia del Oscilador: 440 Hz

Tipo de Onda del Oscilador

Tamaño FFT: 2048

Suavizado de Constante de Tiempo: 0.8

Modo de Visualización

Espectro de Frecuencia

Forma de Onda en Tiempo

Frecuencia Pico -- Hz

Amplitud Pico -- dB

Aplicaciones del Mundo Real (2025)

🎵

Procesamiento de Audio

Compresión MP3/AAC, cancelación de eco, cambio de tono, detección de tono

★★★★★ Esencial

📡

Comunicación Inalámbrica

OFDM (4G/5G/6G/WiFi), ecualización en dominio de frecuencia

★★★★★ Núcleo

🖼️

Procesamiento de Imágenes

Compresión JPEG, eliminación de ruido, enfoque, superresolución

★★★★☆ Importante

🏥

Imágenes Médicas

Reconstrucción MRI, algoritmos CT

★★★★★ Crítico

📡

Radar/Sonar

Compresión de pulsos, detección de objetivos

★★★★☆ Núcleo

🌍

Procesamiento Sísmico

Tomografía, eliminación de ruido

★★★★ Muy Importante

🧮

Multiplicación de Enteros Grandes/Polinomios

Criptografía, álgebra computacional (Schönhage–Strassen)

★★★★☆ Núcleo

🤖

Aprendizaje Automático

FNet, aceleración de series temporales, alternativas de atención

★★★→★★★★ Creciendo