Famille des Transformées de Fourier - Visualisation Interactive

La Famille des Transformées de Fourier

Concept Central

"Projection de signaux sur des bases sinusoïdales de différentes fréquences pour trouver le poids (coefficient) de chaque base"

Hiérarchie des Transformations (Théorie → Pratique)

Nom	Signal d'Entrée	Sortie	Complexité	Implémentation
TF Continue	Continue, Apériodique	Spectre Continu	—	Presque Impossible
Série de Fourier	Continu (Périodique)	Spectre Discret	—	Difficile
TFDT	Discret, Apériodique	Continu (Périodique)	—	Presque Impossible
TFD	Discret, Fini	Spectre Discret	O(N²)	Lent mais Possible
TFR	Identique à TFD	Identique à TFD	O(N log N)	★ Rapide & Facile ★

Facteur de Rotation (Twiddle Factor)

W_N = e^-j2π/N

La clé pour comprendre la FFT - points également espacés sur le cercle unité

W_N^N = 1 Périodicité: W^N = 1

W_N^N/2 = -1 Symétrie: W^(N/2) = -1

W_N/2 = W_N² Réductions: W_{N/2} = W²

Domaine Temporel ↔ Domaine Fréquentiel

Explorez l'apparence de différents signaux temporels dans le domaine fréquentiel

Type de Signal

Fréquence: 1 Hz

Amplitude: 1

Harmoniques (pour approximation): 5

Taux d'Échantillonnage: 100 Hz

Taille de Fenêtre (N): 256

Formule TFD

X[k] = Σ_n=0^N-1 x[n] · e^-j2πkn/N

Signal Temporel

Spectre de Fréquence (Magnitude)

Spectre de Phase

Approximation par Séries de Fourier

Observez comment les signaux périodiques sont construits à partir d'harmoniques

Type d'Onde

Nombre d'Harmoniques: 1

Afficher les Harmoniques Individuels

Animer les Phases

Formule des Séries de Fourier

x(t) = a₀ + Σ_n=1^∞ (a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))

Approximation du Signal (Vert = Actuel, Rouge = Cible)

Harmoniques Individuels

Coefficients de Fourier

Diagramme Papillon FFT

Visualise l'algorithme FFT radix-2 de Cooley-Tukey

Taille FFT (N): 8

Vitesse d'Animation

Afficher les Valeurs Complexes

Surligner l'Étape

Opération Papillon

A' = A + W_N^k · B
B' = A - W_N^k · B

Permutation d'Inversion de Bits

Graphe de Flux de Signal

Performance TFD vs TFR

Comparaison de la complexité de calcul: O(N²) vs O(N log N)

N Max à Tester: 4096

Nombre d'Opérations Théorique

N	DFT (N²)	FFT (N log₂N)	Accélération

Temps d'Exécution (ms)

Nombre d'Opérations

Ratio d'Accélération

Analyse de Spectre Audio en Temps Réel

Visualisez le contenu fréquentiel audio en temps réel avec la FFT

Source Audio

Fréquence de l'Oscillateur: 440 Hz

Type d'Onde de l'Oscillateur

Taille FFT: 2048

Lissage de Constante de Temps: 0.8

Mode d'Affichage

Spectre de Fréquence

Forme d'Onde Temporelle

Fréquence de Pic -- Hz

Amplitude de Pic -- dB

Applications Réelles (2025)

🎵

Traitement Audio

Compression MP3/AAC, annulation d'écho, changement de hauteur, détection de hauteur

★★★★★ Essentiel

📡

Communication Sans Fil

OFDM (4G/5G/6G/WiFi), égalisation domaine fréquentiel

★★★★★ Cœur

🖼️

Traitement d'Image

Compression JPEG, débruitage, amélioration, super-résolution

★★★★☆ Important

🏥

Imagerie Médicale

Reconstruction MRI, algorithmes CT

★★★★★ Critique

📡

Radar/Sonar

Compression d'impulsion, détection de cibles

★★★★☆ Cœur

🌍

Traitement Sismique

Tomographie, débruitage

★★★★ Très Important

🧮

Multiplication d'Entiers/Polynômes

Cryptographie, algèbre informatique (Schönhage–Strassen)

★★★★☆ Cœur

🤖

Apprentissage Automatique

FNet, accélération séries temporelles, alternatives attention

★★★→★★★★ Croissant