Fourier-Transformations-Familie - Interaktive Visualisierung

Die Fourier-Transformations-Familie

Kernkonzept

"Projizierung von Signalen auf sinusförmige Basen unterschiedlicher Frequenzen, um das Gewicht (Koeffizient) jeder Basis zu finden"

Transformationshierarchie (Theorie → Praxis)

Name	Eingangssignal	Ausgabe	Komplexität	Implementierung
Kontinuierliche FT	Kontinuierlich, Aperiodisch	Kontinuierliches Spektrum	—	Fast Unmöglich
Fourier-Reihe	Kontinuierlich (Periodisch)	Diskretes Spektrum	—	Schwierig
DTFT	Diskret, Aperiodisch	Kontinuierlich (Periodisch)	—	Fast Unmöglich
DFT	Diskret, Endlich	Diskretes Spektrum	O(N²)	Langsam aber Möglich
FFT	Wie DFT	Wie DFT	O(N log N)	★ Schnell & Einfach ★

Drehfaktor (Twiddle Factor)

W_N = e^-j2π/N

Der Schlüssel zum Verständnis der FFT - gleichmäßig verteilte Punkte auf dem Einheitskreis

W_N^N = 1 Periodizität: W^N = 1

W_N^N/2 = -1 Symmetrie: W^(N/2) = -1

W_N/2 = W_N² Reduktionen: W_{N/2} = W²

Zeitbereich ↔ Frequenzbereich

Erkunden Sie, wie verschiedene zeitbereichssignale im Frequenzbereich aussehen

Signalart

Frequenz: 1 Hz

Amplitude: 1

Oberwellen (für Approximation): 5

Abtastrate: 100 Hz

Fenstergröße (N): 256

DFT-Formel

X[k] = Σ_n=0^N-1 x[n] · e^-j2πkn/N

Zeitbereichssignal

Frequenzspektrum (Magnitude)

Phasenspektrum

Fourier-Reihen-Approximation

Beobachten Sie, wie periodische Signale aus Oberwellen aufgebaut sind

Wellentyp

Anzahl der Oberwellen: 1

Einzelne Oberwellen anzeigen

Phasen animieren

Fourier-Reihen-Formel

x(t) = a₀ + Σ_n=1^∞ (a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))

Signalapproximation (Grün = Aktuell, Rot = Ziel)

Einzelne Oberwellen

Fourier-Koeffizienten

FFT-Butterfly-Diagramm

Visualisierung des Cooley-Tukey radix-2 FFT-Algorithmus

FFT-Größe (N): 8

Animationsgeschwindigkeit

Komplexe Werte anzeigen

Stufe hervorheben

Butterfly-Operation

A' = A + W_N^k · B
B' = A - W_N^k · B

Bitumkehr-Permutation

Signalflussgraph

DFT vs FFT Leistung

Vergleich der Rechenaufwand: O(N²) vs O(N log N)

Max N zum Testen: 4096

Theoretische Operationsanzahl

N	DFT (N²)	FFT (N log₂N)	Beschleunigung

Ausführungszeit (ms)

Operationsanzahl

Beschleunigungsverhältnis

Echtzeit-Audio-Spektralanalyse

Visualisierung des Audio-Frequenzinhalts in Echtzeit mit FFT

Audioquelle

Oszillatorfrequenz: 440 Hz

Oszillator-Wellentyp

FFT-Größe: 2048

Glättung der Zeitkonstante: 0.8

Anzeigemodus

Frequenzspektrum

Zeitverlauf

Spitzenfrequenz -- Hz

Spitzenamplitude -- dB

Praktische Anwendungen (2025)

🎵

Audioverarbeitung

MP3/AAC-Komprimierung, Echounterdrückung, Pitch-Shifting, Pitch-Erkennung

★★★★★ Wesentlich

📡

Drahtlose Kommunikation

OFDM (4G/5G/6G/WiFi), Frequenzbereich-Entzerrung

★★★★★ Kern

🖼️

Bildverarbeitung

JPEG-Komprimierung, Rauschunterdrückung, Schärfung, Superauflösung

★★★★☆ Wichtig

🏥

Medizinische Bildgebung

MRI-Rekonstruktion, CT-Algorithmen

★★★★★ Kritisch

📡

Radar/Sonar

Pulskompression, Zielerfassung

★★★★☆ Kern

🌍

Seismische Verarbeitung

Tomografie, Rauschunterdrückung

★★★★ Sehr Wichtig

🧮

Große Ganzzahl/Polynom-Multiplikation

Kryptografie, Computer-Algebra (Schönhage–Strassen)

★★★★☆ Kern

🤖

Maschinelles Lernen

FNet, Zeitreihen-Beschleunigung, Attention-Alternativen

★★★→★★★★ Wachsend