Numerische Apertur NA = n·sinα, wobei α der halbe Öffnungswinkel des größten Lichtkegels ist, den das Objektiv aufnimmt, und n der Brechungsindex des Mediums. Die NA begrenzt Lichtsammelvermögen und Auflösung zugleich; mit optionaler Wellenlänge liefert das Werkzeug zudem das Abbe-Limit d = λ/(2·NA). Die Beispiele sind die zwei Mikroskop-Regime: Trockenobjektiv (NA = 0.5, d = 550 nm) und Ölimmersion (n = 1.515, α = 60° → NA = 1.312028, d = 209.599 nm).

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Quantenharmonischer-Oszillator-Rechner

Niveaus des quantenharmonischen Oszillators, E_n = (n + ½)ℏω: Eingabe von Masse und Federkonstante (ω = √(k/m)), Kreisfrequenz oder Frequenz. Ausgegeben werden die Nullpunktsenergie E_0 = ½ℏω (der Oszillator kann nie ruhen), der exakt gleichmäßige Abstand ħω, die Photonenwellenlänge benachbarter Übergänge, die klassischen Umkehrpunkte und optional die Niveauleiter. Die typischen ~0.1–0.4 eV molekularer Schwingungen stammen genau aus diesem ħω.

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Rapiditäts-Rechner

Rapidität φ = artanh(β): der hyperbolische Winkel, der die relativistische Geschwindigkeitsaddition in gewöhnliche Addition verwandelt. Boosts setzen sich durch Addition der Rapiditäten zusammen (tanh(φ₁+φ₂) = resultierendes β), γ = cosh φ, γβ = sinh φ, und e^φ ist der longitudinale Dopplerfaktor. Bei β = 0.5 ist φ = 0.549306, und die Verdopplung ergibt tanh(1.098612) = 0.8 — der Fall 0.5c + 0.5c = 0.8c, reduziert auf 2φ.

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Relativistischer Doppler-Effekt-Rechner

Longitudinaler relativistischer Dopplereffekt: Eine sich mit β entfernende Quelle gibt f = f₀·√((1−β)/(1+β)) und Rotverschiebung 1+z = √((1+β)/(1−β)); bei Annäherung kippt das Verhältnis in eine Blauverschiebung. Ausgegeben werden das Frequenzverhältnis, z sowie beobachtete Frequenz und Wellenlänge mit Bande. Das Beispiel verfolgt die Hα-Linie einer mit 0.5c fliehenden Galaxie ins Infrarote — dieselbe Verschiebung wie in Kosmologie und Radialgeschwindigkeits-Durchmusterungen.

Utilities

Link-als-Dokument-URL-Generator

Packe ein ganzes Dokument in eine einzige teilbare URL — ohne Konto, ohne Server, der Link IST das Dokument. Optionale AES-256-Verschlüsselung, fünf Vorlagen; der Empfänger öffnet einfach den Link.

Math & Numbers

Normalverteilungs-Plotter

Zeichnet eine Normalverteilungskurve als SVG mit z-Markern, Intervall-/Schwanz-Schattierung und σ-Bändern 68/95/99.7.

Text Processing

Wrapper für typografische Anführungszeichen

Umschließt Text, Zeilen oder Sätze mit typografischen Anführungszeichen, verschachtelten Paaren und Sprachregeln.

Network

NB-IoT/LTE-M-Cat-M1-CoAP-LwM2M-Paketanalysator für Cellular IoT

Dekodiert Hex-Mitschnitte zellularer IoT-Geräte: CoAP-Header/-Optionen (Block-wise, Observe), LwM2M-TLV-Objektbäume mit Ressourcennamen, UDH-Anwendungsport-Adressierung im SMS-DELIVER mit Auspacken von CoAP-over-SMS, Link-Format-Registrierungen und DTLS-Datensatzübersichten.

Development

OAuth-2.0-/OIDC-Autorisierungscode-mit-PKCE-Ablaufvisualisierer

Simuliert den Autorisierungscode-Ablauf mit PKCE vollständig: Verifier/Challenge-Erzeugung, Autorisierungs-URL, Token-Austausch, ID-Token-Prüfcheckliste und eine Abfangangriffs-Demo.

Math & Numbers

Prüfung vollkommener Zahlen

Prüft, ob n eine vollkommene Zahl ist (gleich der Summe seiner echten Teiler, σ(n) = 2n). Faktorisiert n (≤ 10¹²) durch Probedivision, berechnet σ(n) und die echte Teilersumme über die Primzahlpotenzen-Formel, klassifiziert n als defizient/vollkommen/abundant und gibt den Abundanz-Index σ(n)/n an; für vollkommene Zahlen wird die Euklid–Euler-Form 2^(p−1)·(2^p − 1) rekonstruiert und alle sieben geraden vollkommenen Zahlen bis 10¹² aufgelistet. Kann die echten Teiler auflisten, wenn es ≤ 200 sind.

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Primitivwurzel-Suche modulo n

Sucht Primitivwurzeln modulo n: prüft, ob n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (zyklische multiplikative Gruppe), findet die kleinste Primitivwurzel mit Zertifikat g^(φ/q) ≠ 1 für jede Primzahl q | φ(n), zählt die Wurzeln als φ(φ(n)), listet bis zu 50 davon auf oder prüft, ob die Ordnung eines Kandidaten g gleich φ(n) ist. Bis 10¹².

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Primzahlfunktion π(n)

Berechnet die Primzahlfunktion π(n) — wie viele Primzahlen ≤ n liegen. Ein ein Durchlauf Sieb des Eratosthenes (Grenze 10⁷) liefert die exakte Anzahl zusammen mit der Näherung n/ln n, der Primzahldichte, dem durchschnittlichen Abstand und der größten Primzahl ≤ n; optional bis zu 20 nahe Primzahlen. Klassische Richtwerte: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.