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Science & Education

Relativistischer Kinetische-Energie-Rechner

Relativistische kinetische Energie K = (γ−1)mc²: die Gesamtenergie γmc² minus Ruheenergie mc², dazu die klassische ½mv² und das Verhältnis K/K_klassisch — bei 0.8c unterschätzt die klassische Formel bereits um die Hälfte, nahe c divergiert die Lücke. Elektron/Proton/eigene Masse, Geschwindigkeit als β oder m/s, Energien in MeV/GeV: die direkte Antwort auf die Frage, wie viel Energie Beschleunigung kostet.

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Relativistischer Impuls-Rechner

Relativistischer Impuls p = γmv (γ = 1/√(1−v²/c²)): Der Faktor γ ersetzt das klassische mv und divergiert für v → c — der Grund, warum kein massives Teilchen auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann. Ausgegeben werden kg·m/s und das in der Teilchenphysik übliche p·c in eV-Einheiten, neben dem klassischen mv zum Vergleich (ihr Verhältnis ist exakt γ). Elektron/Proton/eigene Masse, Geschwindigkeit als β oder m/s.

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Ruheenergie-Rechner

Ruheenergie E₀ = mc²: Die 0.510999 MeV des Elektrons und die 938.272088 MeV des Protons sind die zwei Anker der Massentabelle der Teilchenphysik (Neutron 939.565421 MeV; eigene Masse in kg willkommen). Ausgegeben werden Masse (kg und atomare Masseneinheiten) und Energie (Joule + eV-Einheiten) — so zitieren Collider-Papers Massen: Ein MeV ist eine Masseneinheit.

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Rydberg-Formel-Rechner

Rydberg-Formel 1/λ = R·Z²(1/n₁² − 1/n₂²): wählen Sie ein wasserstoffähnliches Ion der Ladung Z (He⁺, Li²⁺…) und die unteren/oberen Niveaus, mit R∞ für unendliche Kernmasse oder reduzierter Massenkorrektur für Wasserstoff-1, Deuterium, Helium-4 oder eigene Masse. Ausgegeben werden Wellenlänge, Photonenenergie, Frequenz und Bande; He⁺ 4→2 weist auf die Koinzidenz mit der Lyman-α des Wasserstoffs hin (Pickering-Serie), und die Balmer-Linien zeigen ihre Farben Hα–Hδ.

Math & Numbers

Sieb des Eratosthenes (Primzahlgenerator)

Erzeugt mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen bis n (≤ 10⁷), optional beschränkt auf [m, n]. Die Ausgabe erklärt die Mechanik: Basisprimzahlen (p² ≤ n), Anzahl der Streichoperationen und tatsächliche zusammengesetzte Zahlen; die Liste zeigt bis zu 200 Primzahlen, die Zählungen bleiben exakt. Klassiker: Bei n = 100 streichen die Basen 2, 3, 5, 7 genau 74 zusammengesetzte Zahlen und lassen 25 Primzahlen; π(1000) = 168.

Network

Request-Replay & Uhr-Skew-Korrektur für verteilte Systeme

Parst eine rohe HTTP-Anfrage oder einen curl-Befehl, schätzt den Uhr-Skew zwischen Client und Server aus dem Date-Header (NTP-artige Mittelpunktformel), prüft zeitstempeltragende Credentials (X-Amz-Date, x-ms-date, X-Timestamp, JWT iat/nbf), wiederholt mit ±Skew-Offsets und gleicht mit realen Toleranzfenstern ab (AWS SigV4 ±15 Min, Azure, OAuth, JWT-Leeway).

Development

Responsive Picture / srcset Art-Direction-Builder

Erzeugt vollständiges <picture>-Markup mit Art-Direction-Zuschnitten: <source media>-Elemente je Breakpoint, 1x/2x-Kandidaten oder Breitendeskriptoren per {w}-Vorlage, optionale AVIF/WebP-Schichten, sizes-Behandlung, CLS-sicheres width/height sowie HTML- und JSX-Varianten mit spec-basierten Lint-Hinweisen.

Math & Numbers

Reihenkonvergenz-Tester (Quotienten-/Wurzel-/Integral-/Vergleichskriterium)

Untersucht die Konvergenz der Reihe Σ aₙ (aₙ als Ausdruck von n): nacheinander werden das Notwendigkeitskriterium (aₙ → 0?), das Quotientenkriterium L = |aₙ₊₁/aₙ|, das Wurzelkriterium ρ = |aₙ|^(1/n), der Vergleich mit p-Reihen (p = −ln|a(N)|/ln N) und das Integralkriterium (numerisches Simpson + Dekaden-Wachstumsvergleich) angewendet; alternierende Reihen werden automatisch erkannt und per Leibniz-Kriterium klassifiziert, und für konvergente Reihen wird die Summe geschätzt (Partialsumme + geometrischer oder potenzgesetzlicher Rest). Klassiker: Σ1/n² konvergiert (p≈2, Summe≈1.6449); Σ1/n divergiert (harmonisch); Σ0.5ⁿ konvergiert; Σcos(πn)/n konvergiert bedingt (Summe≈−ln2).

Math & Numbers

Mengenoperations-Rechner

Verknüpft zwei Mengen: Vereinigung A ∪ B, Schnitt A ∩ B, Differenz A − B, symmetrische Differenz A △ B und kartesisches Produkt A × B. Elemente sind kommagetrennte Zeichenketten (Groß-/Kleinschreibung beachtet, Duplikate werden unter Erhalt des ersten Vorkommens entfernt, höchstens 50 pro Menge); ausgegeben werden die Ergebnismenge und die Kardinalitäten |A|, |B| und |Ergebnis|, das kartesische Produkt zeigt bis zu 200 geordnete Paare. Klassiker: {1,2,3,4} △ {3,4,5,6} = {1,2,5,6}; {a,b} × {x,y,z} hat 6 Paare.

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Numerischer Löser Runge-Kutta 4. Ordnung (RK4)

Löst dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung: pro Schritt werden vier Steigungen k1–k4 berechnet und y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4) aktualisiert; globaler Fehler O(h⁴) — halbiertes h teilt den Fehler ungefähr durch 16. Liefert die Schrittabelle, die k1–k4-Werte der ersten Schritte und die Endschätzung; die optionale exakte Lösung y(x) ergibt eine Fehlerspalte. Beispiel: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, fast exakt e.