Relativistische kinetische Energie K = (γ−1)mc²: die Gesamtenergie γmc² minus Ruheenergie mc², dazu die klassische ½mv² und das Verhältnis K/K_klassisch — bei 0.8c unterschätzt die klassische Formel bereits um die Hälfte, nahe c divergiert die Lücke. Elektron/Proton/eigene Masse, Geschwindigkeit als β oder m/s, Energien in MeV/GeV: die direkte Antwort auf die Frage, wie viel Energie Beschleunigung kostet.

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Relativistischer Impuls-Rechner

Relativistischer Impuls p = γmv (γ = 1/√(1−v²/c²)): Der Faktor γ ersetzt das klassische mv und divergiert für v → c — der Grund, warum kein massives Teilchen auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann. Ausgegeben werden kg·m/s und das in der Teilchenphysik übliche p·c in eV-Einheiten, neben dem klassischen mv zum Vergleich (ihr Verhältnis ist exakt γ). Elektron/Proton/eigene Masse, Geschwindigkeit als β oder m/s.

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Teilchen im unendlichen Potentialkasten

Niveaus eines 1D-unendlichen Potentialkastens, E_n = n²h²/(8mL²): Teilchen Elektron/Proton/Neutron/Alpha oder eigene Masse, Kastenlänge in Einheiten von m bis pm. Ausgegeben werden E_1 (Nullpunktsenergie — das Teilchen kann nie ruhen), das gewünschte Niveau, die de-Broglie-Stehwellenprobe λ_dB = 2L/n, die Photonenwellenlänge des Übergangs n+1 → n und optional die Niveauleiter bis n = 12. Ein Proton im 10-fm-Kernkasten liefert ~2 MeV Nullpunktsenergie — deshalb lebt die Kernphysik im MeV-Bereich.

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Prüfung vollkommener Zahlen

Prüft, ob n eine vollkommene Zahl ist (gleich der Summe seiner echten Teiler, σ(n) = 2n). Faktorisiert n (≤ 10¹²) durch Probedivision, berechnet σ(n) und die echte Teilersumme über die Primzahlpotenzen-Formel, klassifiziert n als defizient/vollkommen/abundant und gibt den Abundanz-Index σ(n)/n an; für vollkommene Zahlen wird die Euklid–Euler-Form 2^(p−1)·(2^p − 1) rekonstruiert und alle sieben geraden vollkommenen Zahlen bis 10¹² aufgelistet. Kann die echten Teiler auflisten, wenn es ≤ 200 sind.

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Multiplikative Ordnung modulo n (Elementordnung)

Berechnet die multiplikative Ordnung ord_n(a) — das kleinste k ≥ 1 mit a^k ≡ 1 (mod n) (erfordert ggT(a, n) = 1). Der Algorithmus startet bei φ(n) und entfernt Primfaktoren unter Prüfung von a^(ord/p); die Ausgabe enthält die Potenztafel von a, den Minimalitätsbeweis (a^(k/p) ≢ 1 für jede Primzahl p | k), die erzeugte zyklische Untergruppe <a> sowie Kennzeichnungen, ob a Primitivwurzel ist (ord = φ(n)) oder die maximale Ordnung erreicht (ord = λ(n)). Klassiker: ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 ist Primitivwurzel modulo 7; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.

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PERT-Netzwerk-Analysator (Erwartungsdauer/Varianz)

PERT-Analyse mit Drei-Punkt-Schätzungen für 2–20 Vorgänge (einer pro Zeile: Name, optimistisch a, wahrscheinlichste m, pessimistisch b, Vorgänger): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; das CPM auf den te liefert den kritischen Pfad, die erwartete Projektdauer TE und die Projektvarianz (Summe der σ² auf dem kritischen Pfad); bei Zielzeit T werden Z = (T−TE)/σ und die Fertigstellungswahrscheinlichkeit Φ(Z) per Normalapproximation berechnet. Verletzungen von a≤m≤b und Zyklen werden abgelehnt; deterministische Netze (σ≈0) ohne Division durch null. Klassiker: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7 %.

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Partialbruchzerlegungs-Rechner (rationale Funktionen)

Zerlegt die rationale Funktion F(x) = N(x)/D(x) in Partialbrüche (Nennergrad ≤ 6, Zähler ≤ 8; unechte Brüche werden zuerst durch Polynomdivision geteilt): Wurzeln des Nenners nach Durand–Kerner, gruppiert nach Vielfachheit und konjugierten Paaren, exaktes lineares Koeffizientensystem für Terme A/(x−r)^j und (Bx+C)/((x−α)²+β²) sowie numerische Restprüfung an algebraischen Testpunkten. Klassiker: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².

Network

Request-Replay & Uhr-Skew-Korrektur für verteilte Systeme

Parst eine rohe HTTP-Anfrage oder einen curl-Befehl, schätzt den Uhr-Skew zwischen Client und Server aus dem Date-Header (NTP-artige Mittelpunktformel), prüft zeitstempeltragende Credentials (X-Amz-Date, x-ms-date, X-Timestamp, JWT iat/nbf), wiederholt mit ±Skew-Offsets und gleicht mit realen Toleranzfenstern ab (AWS SigV4 ±15 Min, Azure, OAuth, JWT-Leeway).

Development

OpenAPI zu Postman Collection

Wandelt eine OpenAPI-3.x- oder Swagger-2.0-Spec (JSON/YAML) in eine importierbare Postman Collection v2.1.0 mit Ordnern, Variablen, Auth und Beispielantworten.

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Rezept-Zutaten-Scalierer

Skaliert die Zutatenliste eines Rezepts auf eine neue Portionszahl und rechnet Tassen/EL/TL ⇄ Gramm/ml mit Zutatendichten und küchenfreundlichen Brüchen um.

Health

Osmolaritäts-Konverter (mOsm/L↔mOsm/kg↔mmol/L↔mmol/kg)

Rechnet zwischen Osmolaritätseinheiten um: mOsm/L, mOsm/kg, mmol/L und mmol/kg. Osmole zählen osmotisch aktive Teilchen (mOsm = Dissoziationsfaktor n × mmol; Glukose n=1, NaCl n≈2, CaCl₂ n≈3); „pro Liter“ und „pro Kilogramm“ verbindet die Dichte der Lösung ρ (kg/L, Standard 1,000). Referenz: normale Serumosmolalität 275–295 mOsm/kg; 0,9 % NaCl (154 mmol/L, n=2) ≈ 308 mOsm/L. Keine medizinische Beratung.

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pH↔Wasserstoffionenkonzentration-Konverter ([H⁺] = 10^(−pH))

Bidirektionale Umrechnung zwischen pH und Wasserstoffionenkonzentration: [H⁺] = 10^(−pH) mol/L und pH = −log₁₀[H⁺]. Unterstützt mol/L, mmol/L, µmol/L und nmol/L (die klinische Physiologie nutzt nmol/L: arterielles Blut pH 7,35–7,45 entspricht ≈35–45 nmol/L; pH 7,40 ↔ 39,8 nmol/L); der pH-Bereich −3 bis 16 deckt Superaziden bis konzentrierte Basen ab.