Science & Education

Rapidität φ = artanh(β): der hyperbolische Winkel, der die relativistische Geschwindigkeitsaddition in gewöhnliche Addition verwandelt. Boosts setzen sich durch Addition der Rapiditäten zusammen (tanh(φ₁+φ₂) = resultierendes β), γ = cosh φ, γβ = sinh φ, und e^φ ist der longitudinale Dopplerfaktor. Bei β = 0.5 ist φ = 0.549306, und die Verdopplung ergibt tanh(1.098612) = 0.8 — der Fall 0.5c + 0.5c = 0.8c, reduziert auf 2φ.

Science & Education

Niveaus eines 1D-unendlichen Potentialkastens, E_n = n²h²/(8mL²): Teilchen Elektron/Proton/Neutron/Alpha oder eigene Masse, Kastenlänge in Einheiten von m bis pm. Ausgegeben werden E_1 (Nullpunktsenergie — das Teilchen kann nie ruhen), das gewünschte Niveau, die de-Broglie-Stehwellenprobe λ_dB = 2L/n, die Photonenwellenlänge des Übergangs n+1 → n und optional die Niveauleiter bis n = 12. Ein Proton im 10-fm-Kernkasten liefert ~2 MeV Nullpunktsenergie — deshalb lebt die Kernphysik im MeV-Bereich.

Math & Numbers

Berechnet die multiplikative Ordnung ord_n(a) — das kleinste k ≥ 1 mit a^k ≡ 1 (mod n) (erfordert ggT(a, n) = 1). Der Algorithmus startet bei φ(n) und entfernt Primfaktoren unter Prüfung von a^(ord/p); die Ausgabe enthält die Potenztafel von a, den Minimalitätsbeweis (a^(k/p) ≢ 1 für jede Primzahl p | k), die erzeugte zyklische Untergruppe <a> sowie Kennzeichnungen, ob a Primitivwurzel ist (ord = φ(n)) oder die maximale Ordnung erreicht (ord = λ(n)). Klassiker: ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 ist Primitivwurzel modulo 7; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.

Math & Numbers

Zerlegt die rationale Funktion F(x) = N(x)/D(x) in Partialbrüche (Nennergrad ≤ 6, Zähler ≤ 8; unechte Brüche werden zuerst durch Polynomdivision geteilt): Wurzeln des Nenners nach Durand–Kerner, gruppiert nach Vielfachheit und konjugierten Paaren, exaktes lineares Koeffizientensystem für Terme A/(x−r)^j und (Bx+C)/((x−α)²+β²) sowie numerische Restprüfung an algebraischen Testpunkten. Klassiker: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².

Math & Numbers

Berechnet die inverse Laplace-Transformierte von F(s) = N(s)/D(s) (echt gebrochen, Nennergrad ≤ 6): Wurzeln des Nenners, nach Vielfachheit und konjugierten Paaren gruppiert, Partialbruchzerlegung per linearem Koeffizientensystem und gliedweise Rücktransformation mit den Standardpaaren (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]). Klassiker: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).

Development

Wandelt eine OpenAPI-3.x- oder Swagger-2.0-Spec (JSON/YAML) in eine importierbare Postman Collection v2.1.0 mit Ordnern, Variablen, Auth und Beispielantworten.

Math & Numbers

Skaliert die Zutatenliste eines Rezepts auf eine neue Portionszahl und rechnet Tassen/EL/TL ⇄ Gramm/ml mit Zutatendichten und küchenfreundlichen Brüchen um.

Education

Berechnet Wrights Inzuchtkoeffizienten F: die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Allele eines Locus identisch durch Abstammung (IBD) sind. F_X = Σ (1/2)^(n1+n2+1) × (1 + F_A), mit n1/n2 Generationen vom Vater/von der Mutter zum gemeinsamen Ahnen und F_A als dessen eigene Inzucht, summiert über alle gemeinsamen Ahnen. Referenzwerte: Selbstbefruchtung 0.5, Elter×Nachkomme 0.25, Vollgeschwister 0.25 (zwei Pfade 1,1), Halbgeschwister 0.125, Onkel×Nichte 0.125, Cousin/Cousine 1. Grades 0.0625 (zwei Pfade 2,2). Das rezessive Risiko steigt von q² auf q² + F·q·(1−q). Quellen: Wright 1922, Falconer & Mackay, Hartl & Clark 2007, StatPearls. Nur für Bildungszwecke.

Education

Berechnet Genotyp- und Phänotyp-Wahrscheinlichkeiten der Nachkommen für X-chromosomale Merkmale. Söhne erhalten ihr einziges X von der Mutter (der Vater liefert Y); Töchter erhalten von jedem Elternteil ein X. Rezessiver Modus (Hämophilie A, Rot-Grün-Blindheit): betroffen X^A... X^a Y und X^a X^a; X^A X^a Überträgerin; Überträgerin × gesunder Vater → 50% der Söhne betroffen, 0% der Töchter, 50% der Töchter Überträgerinnen. Dominanter Modus (X-gebundene hypophosphatämische Rachitis): betroffen X^A Y, X^A X^A und X^A X^a; betroffener Vater × gesunde Mutter → 100% der Töchter betroffen, 0% der Söhne. Quellen: Morgan 1910, Griffiths, Hartl & Clark 2007, StatPearls. Nur für Bildungszwecke.

Health

Konvertiert Serum-/Plasma-Insulin zwischen konventionellen (µIE/mL) und SI-Einheiten (pmol/L). Humaninsulin hat eine Molmasse von ~5808 g/mol und eine spezifische Aktivität von ~24 IE/nmol (WHO 1st IR 83/500), daher ist der Faktor fix: µIE/mL × 6.945 = pmol/L (÷6.945). Referenzbereich (gesunder Erwachsener nüchtern): 2.6–24.9 µIE/mL (18–173 pmol/L). Insulinresistenz (HOMA-IR): Nüchterninsulin >15 µIE/mL (~104 pmol/L) als Grenzwert. Hypoglykämie-Abklärung: Insulin >3 µIE/mL (>21 pmol/L) bei Hypoglykämie spricht für endogenen Hyperinsulinismus (Insulinom, Sulfonylharnstoffe). Quellen: WHO 83/500, Young 1987, StatPearls, Matthews 1985. Keine medizinische Beratung.

Health

Berechnet den erwarteten PaCO₂ der Atemkompensation bei metabolischer Azidose mit der Winter-Formel: 1,5×HCO₃⁻ + 8 ± 2 mmHg. Bei Angabe des tatsächlichen PaCO₂ wird bewertet, ob die Kompensation adäquat ist (±2), oder eine begleitende respiratorische Azidose (höher) bzw. Alkalose (niedriger) vorliegt. Fokus auf eine Formel; für die vollständige Interpretation siehe blood-gas-anion-gap. Quellen: Albert 1967, Emmett 2016, LITFL, MDCalc. Keine medizinische Beratung.

Design

Erfasst eine öffentliche Webseite und exportiert beobachtete Farben, Typografie, Abstände und Komponenten samt Bildschirmfoto.