Elysia Tools
导航
Science & Education
输入实波函数的离散采样 ψ(x)（每行一个“x ψ”对），工具按梯形法则计算归一化内积 ⟨ψ|ψ⟩ = ∫ψ²dx、期望值 ⟨x⟩、⟨x²⟩ 与标准差 σ_x = √(⟨x²⟩−⟨x⟩²)。采样会自动按 x 排序，x 必须互不相同；内置高斯样例可直接验证：对称高斯 ⟨x⟩ ≈ 0、σ ≈ 0.707，平移高斯 ⟨x⟩ 跟随峰值移动。
执行
填写表单、运行工具，并在同一页面查看结果。
案例
相关内容
工具使用指南
波函数期望值计算器用于通过实波函数离散采样 ψ(x) 数据，快速计算归一化内积 ⟨ψ|ψ⟩、位置期望值 ⟨x⟩、二阶矩 ⟨x²⟩ 以及位置标准差 σ_x。工具基于梯形积分法则进行数值计算，并自动对坐标点进行排序与验证。
背景
正在完成量子力学数值计算实验，需要验证高斯基态波函数 ψ(x) = exp(−x²/2) 的空间分布性质。
问题
需要快速求出波函数的归一化积分、中心位置期望值以及理论标准差 1/√2 ≈ 0.707107。
如何使用
在文本框中输入 x 从 -3.0 到 3.0 的 13 个高斯采样点坐标并执行计算。
samples: -3.0 0.0111090
-2.5 0.0439369
-2.0 0.135335
-1.5 0.324652
-1.0 0.606531
-0.5 0.882497
0.0 1.00000
0.5 0.882497
1.0 0.606531
1.5 0.324652
2.0 0.135335
2.5 0.0439369
3.0 0.0111090结果
输出显示归一化内积 ⟨ψ|ψ⟩ = 1.772387，对称分布 ⟨x⟩ 趋近于 0，σ_x 计算值为 0.706874。
背景
模拟沿一维轴发生空间位移的孤立波包，需确认波包峰值偏移量与积分截断效应。
问题
验证峰值移动到 x = 1.0 处的波包期望值 ⟨x⟩ 是否跟随偏移，并检查边界截断对积分的影响。
如何使用
将平移后的高斯分布采样数据粘贴至输入框中并提交计算。
samples: -3.0 0.000335463
-2.5 0.00218749
-2.0 0.0111090
-1.5 0.0439369
-1.0 0.135335
-0.5 0.324652
0.0 0.606531
0.5 0.882497
1.0 1.00000
1.5 0.882497
2.0 0.606531
2.5 0.324652
3.0 0.135335结果
不支持，本工具仅支持实数波函数 ψ(x) 的离散数据点计算。
不需要，工具采用梯形法则，支持非均匀间隔的 x 采样点，但 x 必须互不相同。
不需要，系统在执行积分计算前会自动按 x 坐标升序排列所有有效数据行。
不会，计算器会在公式中通过除以归一化积分 ⟨ψ|ψ⟩ = ∫ψ² dx 自动完成归一化。
误差主要源于离散网格步长有限带来的截断误差，或采样边界未完全覆盖波函数尾部导致截断。
计算得出 ⟨x⟩ = 0.993342（受负端截断微小影响），⟨x²⟩ = 1.474158，波包弥散 σ_x = 0.698162。