Science & Education

里德伯公式 1/λ = R·Z²(1/n₁² − 1/n₂²)：任选核电荷 Z 的类氢离子（He⁺、Li²⁺…）与下/上能级，支持无限质量 R∞，或按氢-1/氘/氦-4/自定义核质量做约化质量修正。输出波长、光子能量、频率与波段；He⁺ 4→2 会标注它与氢 Lyman-α 的 Pickering 重合，氢 Balmer 线标注 Hα–Hδ 颜色。

Math & Numbers

用埃拉托色尼筛法生成不超过 n（≤ 10⁷）的全部素数，可选只取区间 [m, n] 内的素数。输出展示筛法机制：基素数（p² ≤ n）、划去操作次数与实际合数个数，素数列表最多显示 200 个但计数始终精确。经典例：n = 100 时以基素数 2、3、5、7 划掉 74 个合数，剩 25 个素数；π(1000) = 168。

Math & Numbers

判别数项级数 Σ aₙ 的收敛性（aₙ 为 n 的表达式）：按序运行项判别法（aₙ → 0?）、比值判别法 L = |aₙ₊₁/aₙ|、根值判别法 ρ = |aₙ|^(1/n)、p-级数比较估计 p = −ln|a(N)|/ln N，以及积分判别法（Simpson 数值积分 + 逐十进位增长比较）；交错级数自动识别并用 Leibniz 判别法分类条件收敛，收敛时还给出和的估计（部分和 + 几何/p 律尾部）。经典例：Σ1/n² 收敛（p≈2，和≈1.6449）；Σ1/n 发散（调和）；Σ0.5ⁿ 收敛；Σcos(πn)/n 条件收敛（和≈−ln2）。

Math & Numbers

对两个集合做运算：并 A ∪ B、交 A ∩ B、差 A − B、对称差 A △ B、笛卡尔积 A × B。元素为逗号分隔的字符串（区分大小写，自动去重并保持首次出现顺序，每个集合最多 50 个元素）；输出结果集、基数 |A|、|B| 与 |结果|，笛卡尔积最多展示 200 个有序对。经典例：{1,2,3,4} △ {3,4,5,6} = {1,2,5,6}；{a,b} × {x,y,z} 有 6 个有序对。

Math & Numbers

用经典四阶 Runge-Kutta（RK4）法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：每步计算 k1–k4 四个斜率并加权更新 y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4)，全局误差 O(h⁴)——步长减半误差约缩小 16 倍。输出逐步数值表、前几步的 k1–k4 明细与最终估计；可选填精确解 y(x) 显示误差列。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 2.718282，与 e 几乎一致。

Math & Numbers

求解 a·y'' + b·y' + c·y = f(x)：解特征方程 ar² + br + c = 0，按判别式给出齐次解（两相异实根 / 二重根 / 共轭复根），用待定系数法求特解（含共振：k 为特征根时试探解乘 x^m），支持常数、多项式、A·e^(kx) 与 A·sin(kx)+B·cos(kx) 右端项；给定 y(x₀) 与 y'(x₀) 时由 2×2 线性方程组定出 C1、C2。经典例：y''−3y'+2y=0，y(0)=1，y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x。

Health

按 H′ = −Σpᵢ·ln pᵢ 计算 Shannon（Shannon–Wiener）多样性指数，pᵢ = nᵢ/N 为各物种占比。H′ 同时随物种丰富度 S 与均匀度增大；支持 ln（生态学经典）、log₂（比特/物种）与 log₁₀ 三种底。附带 H′max = ln(S) 与 Pielou 均匀度 J = H′/ln(S)（0–1，J=1 表示完全均匀）。粗略判读：H′ < 1 低、1–3 中高、> 3 极高（依情境而定，比较 S 相近的群落更有意义）。

Utilities

一次输入替代 bit.ly + Google Campaign Builder + 二维码生成器三件套：输入落地页与 UTM 参数（GA4 必填三件套强制校验、可选小写规范化），生成完整追踪 URL；在自有短链域名上生成确定性 base62 slug（FNV-1a 哈希，同样输入永远同样 slug，无需联网注册），输出短链与完整链两张二维码 PNG，并附带 nginx / vercel.json / Netlify 重定向配置与营销追踪表 CSV 行。

Education

设计经典 10 倍梯度稀释方案：由原液浓度与目标浓度求步数 n = ceil(log₁₀(原液 ÷ 目标))，或直接指定步数；给出每管浓度表（C_k = 原液 ÷ 10^k）与每管操作配方（按 1:9 混合，如每管 100 µL 上一管 + 900 µL 稀释液配成 1 mL）。附操作要点：每步换枪头、涡旋混匀 5–10 秒、由浓到稀操作。可与 CFU/mL 计算器配套使用。来源：Standard Methods 系列稀释技术、FDA BAM 附录。仅供教学与实验规划。

Development

输入标题、描述和 URL，按 2026 年当前 Google 规则像素级模拟搜索结果样式：桌面单行 ~600px 标题、移动端两行截断、桌面“站点名 › 路径”与移动端仅域名（2025 年 1 月改版）、评分星标与商品价格富媒体、日期行、浅色与深色双主题、像素用量仪表与诊断（含 FAQ 富媒体已于 2026 年 5 月移除的现状提示）。

Health

计算肺内分流率 Qs/Qt = (CcO₂ − CaO₂)/(CcO₂ − CvO₂)，含氧含量 CcO₂=1.34×Hb×1.0+0.003×PAO₂、CaO₂=1.34×Hb×SaO₂+0.003×PaO₂、CvO₂=1.34×Hb×SvO₂+0.003×PvO₂；PAO₂ 由肺泡气方程 FiO₂×(P_atm−47)−PaCO₂/0.8 求得。正常 <5%；10–20% 中度分流（肺炎/肺水肿/中重度 ARDS）；>20% 重度分流（重度 ARDS/肝肺综合征/右向左心内分流），对吸氧不敏感。100% 氧分流试验可区分真性分流与 V/Q 失衡。SvO₂/PvO₂ 缺失时用默认值（0.75/40）并标注。来源：Berggren 1942、StatPearls、LITFL、West 呼吸生理学。不构成医疗建议。

Health

计算血清渗透压。传统单位公式 Osm = 2×Na + 血糖/18 + BUN/2.8（Na 为 mmol/L，血糖、BUN 为 mg/dL）；国际单位公式 Osm = 2×Na + 血糖 + 尿素（均为 mmol/L）。怀疑毒醇摄入时可加乙醇项 EtOH/4.6。正常范围约 275–295 mOsm/kg。<275 为低渗（SIADH、原发性烦渴、肾上腺功能不全、甲减）；>295 为高渗（高血糖 HHDK、高钠血症/失水、尿毒症、甘露醇、毒醇——后者会同时升高渗透间隙）。来源 Dorwart 1975、Rasouli 2014、MDCalc。不构成医疗建议。