Полная Диаграмма Бифуркаций
Логистическое Отображение xₙ₊₁ = r·xₙ(1-xₙ)
r₁ ≈ 3.0
r₂ ≈ 3.449
r₃ ≈ 3.544
r₄ ≈ 3.564
Обнаружение Точек Бифуркации
Период 1→2:
计算中...
Период 2→4:
计算中...
Период 4→8:
计算中...
Период 8→16:
计算中...
Результаты Вычисления δ
δ ≈
--
Скорость Сходимости:
Управление Видом
to
500
Управление Вычислением
2000
5
Увеличение итераций и бифуркаций улучшает точность вычисления δ, но занимает больше времени.
Кривая Сходимости δ
Таблица Приближений δ
| n | Формула | значение δₙ | Ошибка |
|---|---|---|---|
| Нажмите 'Начать Вычисление' для просмотра результатов | |||
Конечное значение δ:
--
Теоретическое:
4.669201609...
Точность:
--
Принцип Универсальности
Самый замечательный аспект констант Фейгенбаума — их универсальность: для всех систем с унимодальными отображениями и квадратичными максимумами бифуркации удвоения периода сходятся с одним и тем же соотношением δ. Ниже мы сравниваем три различных отображения.
Логистическое Отображение
f(x) = r·x(1-x)
δ ≈
计算中...
Синусоидальное Отображение
f(x) = r·sin(π·x)
δ ≈
计算中...
Тентовое Отображение
f(x) = r·min(x, 1-x)
δ ≈
计算中...
Заключение
Как показано ниже, хотя три отображения имеют совершенно разные функциональные формы, их бифуркации удвоения периода все сходятся с одним и тем же соотношением δ ≈ 4.669. Это и есть универсальность констант Фейгенбаума — это 'число пи' теории хаоса, появляющееся во всех системах, переживающих путь удвоения периода к хаосу.
Реальные Применения
- Переход к турбулентности в гидродинамике
- Осцилляции в электронных цепях
- Динамика популяций в биологии
- Осцилляции в химических реакциях