完整分岔图
Logistic映射 xₙ₊₁ = r·xₙ(1-xₙ)
r₁ ≈ 3.0
r₂ ≈ 3.449
r₃ ≈ 3.544
r₄ ≈ 3.564
分岔点检测
周期1→2：
计算中...
周期2→4：
计算中...
周期4→8：
计算中...
周期8→16：
计算中...
δ计算结果
δ ≈
--
收敛速度：
视图控制
to
500
计算控制
2000
5
增加迭代次数和分岔数可以提高δ的计算精度， 但计算时间也会增加。
δ收敛曲线
δ近似值表
| n | 公式 | δₙ值 | 误差 |
|---|---|---|---|
| 点击"开始计算"查看结果 | |||
最终δ值：
--
理论值：
4.669201609...
准确度：
--
普适性原理
费根鲍姆常量的最惊人之处在于它的普适性：对于所有经过单峰映射且具有二次最大值的系统， 周期倍化分岔都以相同的比率δ收敛。下面我们比较三种不同的映射。
Logistic映射
f(x) = r·x(1-x)
δ ≈
计算中...
正弦映射
f(x) = r·sin(π·x)
δ ≈
计算中...
帐篷映射
f(x) = r·min(x, 1-x)
δ ≈
计算中...
结论
如上图所示，尽管三个映射的函数形式完全不同，但它们的周期倍化分岔都以相同的比率δ ≈ 4.669收敛。 这就是费根鲍姆常量的普适性——它是混沌理论的"圆周率"，在所有经历周期倍化通往混沌的系统中都出现。
实际应用
- 流体力学中的湍流转换
- 电子电路中的振荡
- 生物学中的种群动力学
- 化学反应中的振荡