Calculadora de inversa modular (Euclides estendido)

Calculadora de inversa modular (Euclides estendido) | Ferramenta online grátis | Elysia Tools

Guia de uso da ferramenta

Veja quando usar esta ferramenta, o que ela suporta e como os usuários a aplicam.

Fatos principais

Categoria: Math & Numbers
Tipos de entrada: text, select
Tipo de saída: text
Cobertura de exemplos: 4
API pronta: Sim

Visão geral

A Calculadora de inversa modular utiliza o algoritmo de Euclides estendido para calcular o inverso multiplicativo a⁻¹ mod m, exibindo a identidade de Bézout, a tabela detalhada de passos e a verificação matemática a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m) para números inteiros padrão ou de grande escala criptográfica.

Quando usar

Ao calcular a chave privada d no algoritmo RSA a partir do expoente público e e do totiente de Euler φ(n).
Ao resolver congruências lineares e equações diofantinas da forma a·x + m·y = 1.
Ao verificar a coprimalidade entre dois números inteiros com o detalhamento das divisões sucessivas.

Como funciona

1Informe o número a (que é reduzido módulo m se for negativo) e o módulo m (m ≥ 2).
2Escolha o estilo de saída entre o resultado direto com verificação ou o passo a passo completo da tabela de Euclides.
3O algoritmo calcula o mdc(a, m); se for 1, determina os coeficientes de Bézout e retorna o inverso modular acompanhado da prova a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m).

Casos de uso

Geração de chaves e expoentes privados em algoritmos criptográficos como RSA.
Decodificação de cifras clássicas, como a cifra afim sobre alfabetos modulares.
Resolução de problemas de aritmética modular em disciplinas de teoria dos números e ciência da computação.

Exemplos

1. Geração de chave privada RSA

Estudante de Cibersegurança

Contexto

Em um exercício prático de RSA, é necessário encontrar o expoente privado d sabendo que o expoente público é e = 17 e φ(n) = 3120.

Problema

Calcular 17⁻¹ mod 3120 acompanhando as iterações do algoritmo de Euclides estendido.

Como usar

Insira 17 no campo 'Valor a', 3120 no campo 'Módulo m' e selecione a opção para exibir os passos.

Resultado

A ferramenta gera a identidade de Bézout 17 × (-367) + 3120 × 2 = 1, o inverso d = 2753 e a verificação 17 × 2753 ≡ 1 (mod 3120).

2. Inversa para decifração de cifra afim

Desenvolvedor de Jogos

Contexto

Implementando um enigma com cifra afim baseada no alfabeto de 26 letras com multiplicador a = 7.

Problema

Obter o inverso modular de 7 mod 26 para reverter o processo de cifragem.

Como usar

Preencha 'Valor a' com 7, 'Módulo m' com 26 e selecione o estilo 'Resultado e verificação'.

Resultado

O sistema retorna 7⁻¹ ≡ 15 (mod 26), confirmado pela equação 7 × 15 = 105 = 4 × 26 + 1.

Perguntas frequentes

O que acontece se o mdc(a, m) for diferente de 1?

A inversa modular não existe nesse caso, e a ferramenta indica explicitamente que os números não são coprimos.

A calculadora suporta números grandes utilizados em RSA?

Sim, o algoritmo processa inteiros de precisão arbitrária com até 10⁵¹².

O que representam os coeficientes de Bézout?

Representam os inteiros x e y que satisfazem a identidade a·x + m·y = mdc(a, m), onde x reduzido mod m é a inversa procurada.

É possível inserir números negativos no valor a?

Sim, entradas negativas são automaticamente reduzidas módulo m antes do cálculo.

Qual a diferença entre os estilos de saída?

A opção de passos exibe a tabela completa de iterações r = a·s + m·t, enquanto o modo resultado foca apenas na identidade final e na verificação.

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Fatos principais

Visão geral

Quando usar

Como funciona

Casos de uso

Exemplos

1. Geração de chave privada RSA

2. Inversa para decifração de cifra afim

Perguntas frequentes

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