Modularer Inversen-Rechner (erweiterter Euklid)

Modularer Inversen-Rechner (erweiterter Euklid) | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: text, select
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Dieser modulare Inversen-Rechner berechnet das multiplikative Inverse a⁻¹ mod m mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus. Er liefert die Bézout-Koeffizienten, eine optionale Schritt-für-Schritt-Tabelle und eine mathematische Verifikation – auch für RSA-große Zahlen bis zu 10⁵¹².

Wann verwenden

Bei der RSA-Schlüsselerzeugung zur Bestimmung des privaten Schlüsselexponenten d = e⁻¹ mod φ(n).
Beim Lösen linearer Kongruenzen und diophantischer Gleichungen in der Zahlentheorie.
Zur Entschlüsselung klassischer Verfahren wie der affinen Chiffre über modularen Alphabeten.

So funktioniert es

1Geben Sie die zu invertierende Zahl a sowie das Modul m (m ≥ 2) ein.
2Wählen Sie den gewünschten Ausgabestil aus: kompaktes Ergebnis mit Verifikation oder die vollständige Schritt-Tabelle.
3Das Tool ermittelt per erweitertem Euklid den ggT(a, m), berechnet die Bézout-Identität und gibt das Inverse a⁻¹ mod m aus.

Anwendungsfälle

Kryptografie-Praktikum: RSA-Schlüsselkomponenten nachvollziehbar berechnen und verifizieren.
Mathematikstudium: Schrittweise Lösung diophantischer Gleichungen und modularer Gleichungssysteme.
Chiffrieranalyse: Bestimmung inverser Multiplikatoren für historische Substitutionschiffren.

Beispiele

1. RSA-Schlüsselerzeugung

Informatikstudent

Hintergrund

In einer Krypto-Übung sind der öffentliche Exponent e = 17 und der Eulersche Totient φ(n) = 3120 vorgegeben.

Aufgabe

Der private Schlüssel d = 17⁻¹ mod 3120 muss mit nachvollziehbarem Rechenweg ermittelt werden.

Verwendung

Geben Sie 17 in Feld a und 3120 in Feld m ein, wählen Sie 'Schritte des erweiterten Euklid anzeigen' und starten Sie die Berechnung.

a = 17, m = 3120, style = steps

Ergebnis

Das Ergebnis 2753 wird samt vollständiger Euklid-Tabelle und Verifikation (17 × 2753 = 46801 = 15 × 3120 + 1) ausgegeben.

2. Entschlüsselung einer affinen Chiffre

Rätselautor

Hintergrund

Ein Alphabet umfasst 26 Zeichen und die Verschlüsselung nutzt den Multiplikator a = 7.

Aufgabe

Zur Entschlüsselung wird der inverse Multiplikator 7⁻¹ mod 26 benötigt.

Verwendung

Tragen Sie a = 7 und m = 26 ein und wählen Sie 'Ergebnis und Verifikation'.

FAQ

Wann existiert ein modulares Inverses?

Ein modulares Inverses a⁻¹ mod m existiert genau dann, wenn a und m teilerfremd sind, also gcd(a, m) = 1 gilt.

Können auch negative Zahlen für a eingegeben werden?

Ja, negative Werte werden vor der Invertierung automatisch positiv modulo m reduziert.

Wie groß dürfen die Eingabewerte sein?

Das Tool unterstützt beliebig große Ganzzahlen, inklusive kryptografischer Schlüssellängen bis zu 10⁵¹².

Was zeigt die Schritt-Tabelle des erweiterten Euklid?

Sie listet für jede Iteration den Rest r, den Quotienten q sowie die Bézout-Vorwärtskoeffizienten r = a·s + m·t auf.

Was passiert, wenn gcd(a, m) ungleich 1 ist?

Das Tool gibt eine klare Meldung aus, dass kein Inverses existiert, da die Werte einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben.

a = 7, m = 26, style = result

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2. Entschlüsselung einer affinen Chiffre

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