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Résout dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par le Runge-Kutta classique d'ordre 4 : chaque pas calcule les quatre pentes k1–k4 et met à jour y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), avec une erreur globale en O(h⁴) — diviser h par 2 réduit l'erreur d'un facteur ~16. Fournit le tableau des itérations, le détail des k1–k4 des premiers pas et l'estimation finale ; la solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quasiment e.

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Résout a·y'' + b·y' + c·y = f(x) : racines de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0, solution homogène classée selon le discriminant (racines réelles distinctes / double / complexes conjuguées) et solution particulière par coefficients indéterminés avec résonance (si k est racine, l'essai est multiplié par x^m). Constantes, polynômes, A·e^(kx) et A·sin(kx)+B·cos(kx) acceptés ; avec y(x₀) et y'(x₀), un système 2×2 fixe C1 et C2. Exemple classique : y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.

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Calcule l'activité restante après décroissance radioactive : A(t) = A₀·e^(−λt) = A₀·2^(−t/T½), avec λ = ln2/T½. Accepte les unités d'activité Bq/kBq/MBq/GBq/Ci/mCi/µCi/dpm et les unités de temps s/min/h/jours/années ; renvoie l'activité restante, le pourcentage restant, la constante de décroissance et le nombre de demi-vies écoulées. Exemples : Tc-99m (T½=6,01 h, médecine nucléaire) et F-18 (T½=109,77 min, TEP).

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Calcule l'activité spécifique théorique d'un radionucléide sans entraîneur à partir de sa demi-vie : activité molaire A_mol = ln2·N_A/T½ (Bq/mol), convertie en Ci/mmol ; avec la masse molaire M, s'ajoute l'activité massique en Bq/g et Ci/g. Repère : Tc-99m sans entraîneur (T½=6,01 h, M≈99) ≈ 5,27×10⁶ Ci/g. Toute préparation réelle contient un entraîneur stable et mesure moins.

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Conversion de vitesse angulaire : rad/s (base SI) ↔ tr/min (1=2π/60 rad/s) ↔ deg/s (1=π/180 rad/s) ↔ Hz (1 tour/s=2π rad/s). Ici Hz = tour par seconde. Conversion via rad/s avec les quatre équivalents. Réf. : vinyle 33⅓ tr/min≈3,49 rad/s, ralenti moteur ~800 tr/min≈83,8 rad/s.

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Conversion d'éclairement : lux (base SI=lm/m²) ↔ kilolux (1=1000) ↔ footcandle (1=10,7639104) ↔ phot (1=10000) ↔ nox (1=0,001). Conversion via lux avec les cinq équivalents. Réf. : pleine lune ~0,25, bureau 300–500, soleil direct ~100000 lux.

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Conversion de puissance acoustique : linéaire W/mW/µW/pW et logarithmique dB Lw (Lw=10·log₁₀(W/1pW), P₀=1pW=1e-12 W). Conversion bidirectionnelle linéaire↔log. Réf. : chuchotement ~1e-9 W(Lw≈30), parole ~1e-5 W(Lw≈70), réacteur ~1e4 W(Lw≈160).

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Conversion de pression acoustique : linéaire Pa/µPa/µbar/mbar et logarithmique dB SPL (Lp=20·log₁₀(Pa/20µPa), p₀=20µPa=2e-5 Pa). Repère : 1 Pa=94 dB SPL. Conversion bidirectionnelle linéaire↔log. Réf. : seuil auditif 20µPa(0 dB), parole ~0,02 Pa(60 dB), rock ~20 Pa(120 dB), douleur ~200 Pa(140 dB).

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Vitesse de corrosion uniforme par perte de masse (ASTM G1) : CR(mm/a) = 87,6 × ΔW / (ρ × A × t), ΔW en mg, ρ en g/cm³, A en cm², t en h. Donne aussi mpy (= mm/a × 39,37) et une classification NACE indicative pour acier au carbone. Pour essais d'immersion/coupon.

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Conversion du coefficient d'échange convectif (h) : W/(m²·K) (base SI, =W/(m²·°C)) ↔ kcal/(m²·h·°C) (1=1,1627778). Conversion via W/(m²·K) vers la cible, avec les deux équivalents. Plages : air naturel≈5–25, air forcé≈25–250, eau naturelle≈100–1000, ébullition/condensation≈2500–50000+.

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Conversion de chaleur massique : J/(kg·K) (base SI, =J/(kg·°C)) ↔ kcal/(kg·°C) (1=4186,8) ↔ BTU/(lb·°F) (1=4186,8). Clé : 1 kcal/(kg·°C) = 1 BTU/(lb·°F) (facteurs se compensent). Conversion via J/(kg·K), avec les trois équivalents. Réf. : eau≈4186, air cp≈1005, alu≈900.

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Résistance spécifique = σ/ρ, module spécifique = E/ρ (optionnel). Entrez résistance MPa et masse volumique g/cm³, résultat en N·m/kg. Critère des structures légères : haute résistance mais forte densité (tungstène) perd face aux alliages légers. Réf. : titane ~210, alu ~180, acier ~50-90 kN·m/kg.