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Math & Numbers
Berechnet Addition, Subtraktion, Multiplikation, Inverses und schnelle Potenzierung modulo m mit exakter BigInt-Arithmetik (bis 10¹⁸). Die Grundoperationen zeigen die schrittweise Reduktion und liefern den kanonischen Repräsentanten aus [0, m−1]; das Inverse nutzt den erweiterten euklidischen Algorithmus und meldet gcd(a, m) ≠ 1 deutlich; die schnelle Potenz zeigt die Quadriere-und-multipliziere-Tabelle zu den Bits des Exponenten. Klassiker: 17⁵ mod 13 = 10; 5⁻¹ mod 18 = 11.
Ausführung
Fülle das Formular aus, starte das Tool und prüfe das Ergebnis an einem Ort.
Beispiele
Verwandt
Leitfaden zur Tool-Nutzung
Dieser Modulararithmetik-Rechner führt exakte Berechnungen für Addition, Subtraktion, Multiplikation, modulares Inverses und schnelle Exponentiation modulo m mit BigInt-Präzision für Werte bis 10¹⁸ durch. Das Werkzeug liefert verlässlich den kanonischen Repräsentanten im Intervall [0, m−1] und stellt Rechenschritte wie die Bézout-Identität des erweiterten euklidischen Algorithmus oder die Bit-Tabelle des Square-and-Multiply-Verfahrens transparent dar.
Hintergrund
Im Rahmen einer Übung zur Kryptografie soll eine Potenzierung modulo m manuell und per Algorithmus nachvollzogen werden.
Aufgabe
Berechnung von 17⁵ mod 13 unter Verwendung des Square-and-Multiply-Verfahrens.
Verwendung
Wählen Sie 'Potenz', tragen Sie a = 17, b = 5 und m = 13 ein.
Ergebnis
Der Rechner zerlegt den Exponenten 5 = 101₂, berechnet a^(2^0) ≡ 4 und a^(2^2) ≡ 9 (mod 13) und liefert das Ergebnis 10.
Hintergrund
Für ein Skript zur elementaren Zahlentheorie wird ein nachvollziehbares Beispiel für den erweiterten euklidischen Algorithmus benötigt.
Aufgabe
Ermittlung von 5⁻¹ mod 18 mit Nachweis der Teilerfremdheit.
Verwendung
Wählen Sie 'Inverses', geben Sie a = 5 und den Modul m = 18 ein.
Ergebnis
Es wird gcd(5, 18) = 1 bestätigt, die Identität 5 × (-7) + 18 × 2 = 1 gezeigt und das kanonische Inverse 11 ausgegeben.
Ein modulares Inverses existiert genau dann, wenn a und m teilerfremd sind, also gcd(a, m) = 1 gilt.
Über den erweiterten euklidischen Algorithmus, der die Bézout-Koeffizienten zur Gleichung a·x + m·y = 1 bestimmt.
Über das Square-and-Multiply-Verfahren anhand der Binärdarstellung des Exponenten mit schrittweiser Modulo-Reduktion.
Dank exakter BigInt-Arithmetik werden ganzzahlige Operanden und Moduln bis 10¹⁸ unterstützt.
Das Ergebnis wird stets als kleinster nicht-negativer Rest im Wertebereich von 0 bis m−1 ausgegeben.